Serie di potenze con arcotangente
Buona sera a tutti, sto avendo problemi con questa serie:
$ sum_(k=1)^(k=infty)arctan(k^3/3^k) $
e sinceramente non so da dove iniziare.
Ho davanti a me la teoria riguardante questo argomento ed ho fatto numerosi esercizi, ma questo è il primo che mi capita con funzioni trigonometriche.
Sapreste indirizzarmi un attimo? Cioè, ho sempre risolto serie nella forma
$ sum_(k=0)^(k=infty) a_k(x-x_0)^k $
ma non riesco a capire come comportarmi in questo caso. Chi è $ a_k $ e chi il mio $ (x-x_0)^k $?
Posso solo dire che ho notato che per k che tende a infinito la mia funzione tende a 0. Ripeto, vorrei risolverla da solo, ma ho qualche problema a partire, potreste darmi una spintarella?
$ sum_(k=1)^(k=infty)arctan(k^3/3^k) $
e sinceramente non so da dove iniziare.
Ho davanti a me la teoria riguardante questo argomento ed ho fatto numerosi esercizi, ma questo è il primo che mi capita con funzioni trigonometriche.
Sapreste indirizzarmi un attimo? Cioè, ho sempre risolto serie nella forma
$ sum_(k=0)^(k=infty) a_k(x-x_0)^k $
ma non riesco a capire come comportarmi in questo caso. Chi è $ a_k $ e chi il mio $ (x-x_0)^k $?
Posso solo dire che ho notato che per k che tende a infinito la mia funzione tende a 0. Ripeto, vorrei risolverla da solo, ma ho qualche problema a partire, potreste darmi una spintarella?
Risposte
Serie di potenze? Dov'è la x 
yo my bad. Tutto il giorno dietro ad analisi porta a queste cose
Non so se il problema era solo quello, nel dubbio comunque mi esprimo: hai provato col criterio del confronto asintotico?
Ciao Beppu95,
Potresti anche usare la ben nota disuguaglianza $arctan(x) <= x $ che vale $\AA x > 0 $
Nel caso della serie proposta naturalmente $x := k^3/3^k > 0 $
Questo modo di procedere ti consente non solo di stabilire che la serie proposta converge, ma anche di determinare un numero $C $ tale che sia
$\sum_{k = 1}^{+\infty} arctan(k^3/3^k) <= C $
Facendo i conti risulta $C = 33/8 = 4,125 $
Potresti anche usare la ben nota disuguaglianza $arctan(x) <= x $ che vale $\AA x > 0 $
Nel caso della serie proposta naturalmente $x := k^3/3^k > 0 $
Questo modo di procedere ti consente non solo di stabilire che la serie proposta converge, ma anche di determinare un numero $C $ tale che sia
$\sum_{k = 1}^{+\infty} arctan(k^3/3^k) <= C $
Facendo i conti risulta $C = 33/8 = 4,125 $
Ciao ragazzi, grazie mille per le risposte.
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