Serie di potenze complessa - raggio di convergenza
Nell'ultimo esame mi è capitata la seguente serie:
$\sum_{n=0}^\infty\frac{i*n^2+2}{2n^4+3i}(3z+bar z)^n$
Come metodo risolutivo io applicherei il solito metodo del rapporto della parte frazionaria prima del termine elevato a n.
Però non riesco a risolverlo... cioè... mi viene una frazione bella lunga e io dovrei ottenere come risultato un valore L che corrisponde al raggio di convergenza...
solo che non riesco a semplificare nulla... scommetto che c'è sotto un trucco per risolverla... qualche sostituzione, qualche formula notevole...
So che arreca noia risolverla, ma qualcuno sa dirmi qualcosa?
grazie
$\sum_{n=0}^\infty\frac{i*n^2+2}{2n^4+3i}(3z+bar z)^n$
Come metodo risolutivo io applicherei il solito metodo del rapporto della parte frazionaria prima del termine elevato a n.
Però non riesco a risolverlo... cioè... mi viene una frazione bella lunga e io dovrei ottenere come risultato un valore L che corrisponde al raggio di convergenza...
solo che non riesco a semplificare nulla... scommetto che c'è sotto un trucco per risolverla... qualche sostituzione, qualche formula notevole...
So che arreca noia risolverla, ma qualcuno sa dirmi qualcosa?
grazie
Risposte
"DLuca":
$\sum_{n=0}^\infty\frac{i*n^2+2}{2n^4+3i}(3z+bar z)^n$
Non vorrei sbagliare, ma secondo me se $|3z+bar(z)| < 1$ la serie converge.
Prendilo col benificio del dubbio, però..
"franced":
[quote="DLuca"]
$\sum_{n=0}^\infty\frac{i*n^2+2}{2n^4+3i}(3z+bar z)^n$
Non vorrei sbagliare, ma secondo me se $|3z+bar(z)| < 1$ la serie converge.
Prendilo col benificio del dubbio, però..[/quote]
mh beh credo pure io che converga... il problema è che non riesco a calcolare il raggio di convergenza...
Secondo me il raggio è 2 perché se risolvi
$|3z + bar(z)| < 1$
trovi la parte interna dell'ellisse $16x^2 + 4y^2 = 1$.
$|3z + bar(z)| < 1$
trovi la parte interna dell'ellisse $16x^2 + 4y^2 = 1$.
Usi il criterio del rapporto, cioè:
$lim _(n->+oo)|a_(n+1)|/|a_n|*|3z+\bar{z}|<1$, fai attenzione ai moduli con i numeri comlessi.
$lim _(n->+oo)|a_(n+1)|/|a_n|*|3z+\bar{z}|<1$, fai attenzione ai moduli con i numeri comlessi.
"clrscr":
Usi il criterio del rapporto, cioè:
$lim _(n->+oo)|a_(n+1)|/|a_n|*|3z+\bar{z}|<1$, fai attenzione ai moduli con i numeri comlessi.
si... è come supponevo pure io... diciamo che forse ho espresso male il mio problema...
il punto è che non riesco a trovare il risultato del limite sul criterio del rapporto... cioè... è più un dubbio legato ai limiti in se... se io ho una megafrazione con dei polinomi complessi sopra e sotto, per n->infinito, posso considerare sopra e sotto solo il termine che ha n con il maggior esponente?
In pratica, senza risolvere l'intero rapporto, mi trovo qualcosa tipo $(2i*n^6 +P)/(2i*n^6 + Q)$ dove P e Q sono il resto del numeratore e denominatore in cui la n compare con gradi più bassi.
Io posso affermare che il limite di quel rapporto è 1?
e in tal caso otterrei R=1 e quindi $|3z-\bar{z}|<1/R => |3z-\bar{z}|<1 $ ?
Dunque, a me viene così:
$lim_(n->+oo) sqrt((4+(n+1)^4)/(4+n^4))*sqrt((4n^8+9)/(4(n+1)^8+9))*|3z+bar{z}|<1$ risolvendo il limite otteniamo:
$1/4*|3z+bar{z}|<1$ ora il risultato è abbastanza banale.
$lim_(n->+oo) sqrt((4+(n+1)^4)/(4+n^4))*sqrt((4n^8+9)/(4(n+1)^8+9))*|3z+bar{z}|<1$ risolvendo il limite otteniamo:
$1/4*|3z+bar{z}|<1$ ora il risultato è abbastanza banale.
"clrscr":
Dunque, a me viene così:
$lim_(n->+oo) sqrt((4+(n+1)^4)/(4+n^4))*sqrt((4n^8+9)/(4(n+1)^8+9))*|3z+bar{z}|<1$ risolvendo il limite otteniamo:
$1/4*|3z+bar{z}|<1$ ora il risultato è abbastanza banale.
ma... hai usato il metodo del rapporto? come fanno a venirti quelle radici?
hai per caso risolto il modulo complesso del numeratore e denominatore?
"DLuca":
[quote="clrscr"]Dunque, a me viene così:
$lim_(n->+oo) sqrt((4+(n+1)^4)/(4+n^4))*sqrt((4n^8+9)/(4(n+1)^8+9))*|3z+bar{z}|<1$ risolvendo il limite otteniamo:
$1/4*|3z+bar{z}|<1$ ora il risultato è abbastanza banale.
ma... hai usato il metodo del rapporto? come fanno a venirti quelle radici?
hai per caso risolto il modulo complesso del numeratore e denominatore?[/quote]
CERTO... Dimenticavo, non è $1/4$, bensì $1/2$ (mi sono scordato della radice)..
"clrscr":
[quote="DLuca"][quote="clrscr"]Dunque, a me viene così:
$lim_(n->+oo) sqrt((4+(n+1)^4)/(4+n^4))*sqrt((4n^8+9)/(4(n+1)^8+9))*|3z+bar{z}|<1$ risolvendo il limite otteniamo:
$1/4*|3z+bar{z}|<1$ ora il risultato è abbastanza banale.
ma... hai usato il metodo del rapporto? come fanno a venirti quelle radici?
hai per caso risolto il modulo complesso del numeratore e denominatore?[/quote]
CERTO... Dimenticavo, non è $1/4$, bensì $1/2$ (mi sono scordato della radice)..[/quote]
ecco forse cosa mi sfuggiva... quindi io devo sempre e comunque risolvere il modulo per trovare il raggio di convergenza... sono proprio fuori di testa, mi è completamente sfuggito questo accorgimento... per i numeri complessi il modulo va calcolato in modo del tutto diverso rispetto ai reali
grazie per l'aiuto!
e chissà di passare almeno uno dei due esami di analisi della prossima settimana
oddio... ricontrollando, quel limite mi sa che è 1.. non 1/2
Innanzitutto poniamo $zeta=3z+barz$, cosicché la serie assegnata diventa $\sum (2+n^2*i)/(2n^4+3*i) *zeta^n$.
Applicare alla nuova serie di potenze il Teorema di Cauchy-Hadamard non è difficile: infatti hai:
$a_n=(2+n^2*i)/(2n^4+3*i) quad =>
$quad => quad |a_n|=sqrt((4+n^4)/(4n^8+9)) quad =>
$quad => quad |a_n|^(1/n)=((4+n^4)/(4n^8+9))^(1/(2n))=[1/(4n^4)*(1+4/n^4)/(1+9/(4n^8))]^(1/(2n))$
e perciò:
$lim_n |a_n|^(1/n)=lim_n[1/(4n^4)]^(1/(2n))*[(1+4/n^4)/(1+9/(4n^8))]^(1/(2n))=lim_n (1/2)^(1/n)*(1/n^(1/n))^2*[(1+4/n^4)/(1+9/(4n^8))]^(1/(2n))$;
visto che tutti i fattori sotto il segno di limite all'ultimo membro della precedente convergono verso $1$ si ha:
$lim_n |a_n|^(1/n)=1$;
per il suddetto Teorema di C-H, il raggio di convergenza della serie $\sum (2+n^2*i)/(2n^4+3*i) *zeta^n$ è proprio $R=1/(lim_n |a_n|^(1/n))=1$.
Per determinare l'insieme di convergenza della serie assegnata nell'esercizio devi cercare di determinare quali sono i numeri $z in CC$ che soddisfano la relazione $|zeta|<1$ ossia $|3z+barz|<1$.
Questa forse è la parte più "divertente" dell'esercizio: posto $z=x+y*i$, in modo che $barz=x-y*i$, hai:
$|3z+barz|=sqrt(16x^2+4y^2)<1 quad hArr quad
$quad hArr quad x^2/(1/4)^2+y^2/(1/2)^2<1
quindi l'insieme di convergenza della serie assegnata è l'aperto limitato $U$ che ha per frontiera l'ellisse $E$ di centro $0$ e semiassi $1/4$ ed $1/2$ rispettivamente sull'asse reale e sull'asse immaginario.
[asvg]xmin=-1;
xmax=1;
ymin=-1;
ymax=1;
axes("label");
ellipse([0,0], 0.25, 0.5);[/asvg]
Visto che sulla frontiera del cerchio di convergenza di $\sum (2+n^2*i)/(2n^4+3*i) *zeta^n$ cade almeno un punto singolare (ossia un punto in cui la serie non converge), sull'ellisse $E$ cade almeno un punto singolare della serie assegnata.
Applicare alla nuova serie di potenze il Teorema di Cauchy-Hadamard non è difficile: infatti hai:
$a_n=(2+n^2*i)/(2n^4+3*i) quad =>
$quad => quad |a_n|=sqrt((4+n^4)/(4n^8+9)) quad =>
$quad => quad |a_n|^(1/n)=((4+n^4)/(4n^8+9))^(1/(2n))=[1/(4n^4)*(1+4/n^4)/(1+9/(4n^8))]^(1/(2n))$
e perciò:
$lim_n |a_n|^(1/n)=lim_n[1/(4n^4)]^(1/(2n))*[(1+4/n^4)/(1+9/(4n^8))]^(1/(2n))=lim_n (1/2)^(1/n)*(1/n^(1/n))^2*[(1+4/n^4)/(1+9/(4n^8))]^(1/(2n))$;
visto che tutti i fattori sotto il segno di limite all'ultimo membro della precedente convergono verso $1$ si ha:
$lim_n |a_n|^(1/n)=1$;
per il suddetto Teorema di C-H, il raggio di convergenza della serie $\sum (2+n^2*i)/(2n^4+3*i) *zeta^n$ è proprio $R=1/(lim_n |a_n|^(1/n))=1$.
Per determinare l'insieme di convergenza della serie assegnata nell'esercizio devi cercare di determinare quali sono i numeri $z in CC$ che soddisfano la relazione $|zeta|<1$ ossia $|3z+barz|<1$.
Questa forse è la parte più "divertente" dell'esercizio: posto $z=x+y*i$, in modo che $barz=x-y*i$, hai:
$|3z+barz|=sqrt(16x^2+4y^2)<1 quad hArr quad
$quad hArr quad x^2/(1/4)^2+y^2/(1/2)^2<1
quindi l'insieme di convergenza della serie assegnata è l'aperto limitato $U$ che ha per frontiera l'ellisse $E$ di centro $0$ e semiassi $1/4$ ed $1/2$ rispettivamente sull'asse reale e sull'asse immaginario.
[asvg]xmin=-1;
xmax=1;
ymin=-1;
ymax=1;
axes("label");
ellipse([0,0], 0.25, 0.5);[/asvg]
Visto che sulla frontiera del cerchio di convergenza di $\sum (2+n^2*i)/(2n^4+3*i) *zeta^n$ cade almeno un punto singolare (ossia un punto in cui la serie non converge), sull'ellisse $E$ cade almeno un punto singolare della serie assegnata.
caspita... spieghi sicuramente meglio del mio professore...
Adesso dovrò fare un pò di pratica.
grazie a tutti dell'aiuto
Adesso dovrò fare un pò di pratica.
grazie a tutti dell'aiuto
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