Serie di potenze: chiarimenti
Ciao, da poco studio le serie di potenze per analisi 1 ed ho qualche dubbio che riguarda:
- Il mio testo di esercizi parla di convergenza assolutamente puntuale, è diversa da quella puntuale?
- I termini di partenza (a volte da 0 e 1), che non so come influiscano in tutti i casi possibili, cioè a prescindere da ciò che si deve calcolare o verificare.
- nel caso in cui in una serie di potenze ho un termine con $(-1)^(k+-2)$, posso elidere il -2? Vedo che in alcuni esercizi viene lasciato e mi sembra che complichi i passaggi senza motivo, dato che poi se per le proprietà delle potenze lo porto a denominatore si semplifica..
- La somma della serie di potenze, che so si possono svolgere riconducendosi a relativi termini che risultano dallo sviluppo in serie di taylor. Tuttavia ho letto che si deve prima verificare che alcune condizioni siano "soddisfatte", ma non so cosa di preciso.
Ad esempio ho visto un esercizio che chiede di calcolare convergenza, raggio, insieme di convergenza puntuale ed uniforme e somma della serie di potenze:
$ sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k-2)*(2x)^k/k$
dove, dopo aver fatto vari altri passaggi con $t=2x$ e aver trovato $R=1$ ed aver studiato i caratteri
$ |t|<1 => (-1/2 Convergenza puntuale
$ [-k,k]$ -> Convergenza uniforme
ho la serie di potenze
$ sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k-2)*t^k/k$
e per calcolarne la somma vedo che somiglia allo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo
$log(1+t) = sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k+1)*t^k/k$
e l'esercizio dice che questo sviluppo è utilizzabile in quanto si ha convergenza puntuale per $|t|<1$, ma da dove esce questo requisito e perché? Ce ne sono altri?
Grazie.
- Il mio testo di esercizi parla di convergenza assolutamente puntuale, è diversa da quella puntuale?
- I termini di partenza (a volte da 0 e 1), che non so come influiscano in tutti i casi possibili, cioè a prescindere da ciò che si deve calcolare o verificare.
- nel caso in cui in una serie di potenze ho un termine con $(-1)^(k+-2)$, posso elidere il -2? Vedo che in alcuni esercizi viene lasciato e mi sembra che complichi i passaggi senza motivo, dato che poi se per le proprietà delle potenze lo porto a denominatore si semplifica..
- La somma della serie di potenze, che so si possono svolgere riconducendosi a relativi termini che risultano dallo sviluppo in serie di taylor. Tuttavia ho letto che si deve prima verificare che alcune condizioni siano "soddisfatte", ma non so cosa di preciso.
Ad esempio ho visto un esercizio che chiede di calcolare convergenza, raggio, insieme di convergenza puntuale ed uniforme e somma della serie di potenze:
$ sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k-2)*(2x)^k/k$
dove, dopo aver fatto vari altri passaggi con $t=2x$ e aver trovato $R=1$ ed aver studiato i caratteri
$ |t|<1 => (-1/2
$ [-k,k]$ -> Convergenza uniforme
ho la serie di potenze
$ sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k-2)*t^k/k$
e per calcolarne la somma vedo che somiglia allo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo
$log(1+t) = sum_(k = 1)^(+oo) (-1)^(k+1)*t^k/k$
e l'esercizio dice che questo sviluppo è utilizzabile in quanto si ha convergenza puntuale per $|t|<1$, ma da dove esce questo requisito e perché? Ce ne sono altri?
Grazie.
Risposte
Ciao Jaeger90,
Lo schema è quello riportato qui, che ti riporto per tua maggiore comodità:
Convergenza assoluta puntuale $\implies $ Convergenza puntuale
[tex]\qquad \qquad \Uparrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Uparrow[/tex]
Convergenza assoluta uniforme $\implies $ Convergenza uniforme
[tex]\qquad \qquad \Uparrow[/tex]
Convergenza totale
Beh, dipende da come è fatta la serie: è chiaro che se ad esempio a denominatore di $a_n $ c'è $n $, la serie non potrà partire da $0 $ altrimenti si annullerebbe il denominatore. Esempio: $\sum_{n = 1}^{+infty} 1/n^2 $ e non $ \sum_{n = 0}^{+infty} 1/n^2 $
Per quanto riguarda il carattere di una serie, dovresti sapere che esso non cambia aggiungendo o togliendo qualche termine. Esempio: la serie $\sum_{n = 1}^{+infty} 1/n $ e la serie $ \sum_{n = 23}^{+infty} 1/n $ sono entrambe divergenti a $+infty$
Se ti dà fastidio sì, d'altronde si ha:
$(- 1)^{k + 2} = (- 1)^k \cdot (-1)^2 = (-1)^k $
$(-1)^{k - 2} = (- 1)^k /(-1)^2 = (-1)^k $
Qui farei così:
$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^(k-2) t^k/k = \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^k t^k/k = - \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^{k + 1} t^k/k = - ln(1 + t) = ln(1/(1 + t)) $
per $ - 1 < t <= 1 $
"Jaeger90":
- Il mio testo di esercizi parla di convergenza assolutamente puntuale, è diversa da quella puntuale?
Lo schema è quello riportato qui, che ti riporto per tua maggiore comodità:
Convergenza assoluta puntuale $\implies $ Convergenza puntuale
[tex]\qquad \qquad \Uparrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Uparrow[/tex]
Convergenza assoluta uniforme $\implies $ Convergenza uniforme
[tex]\qquad \qquad \Uparrow[/tex]
Convergenza totale
"Jaeger90":
I termini di partenza (a volte da 0 e 1), che non so come influiscano in tutti i casi possibili, cioè a prescindere da ciò che si deve calcolare o verificare.
Beh, dipende da come è fatta la serie: è chiaro che se ad esempio a denominatore di $a_n $ c'è $n $, la serie non potrà partire da $0 $ altrimenti si annullerebbe il denominatore. Esempio: $\sum_{n = 1}^{+infty} 1/n^2 $ e non $ \sum_{n = 0}^{+infty} 1/n^2 $
Per quanto riguarda il carattere di una serie, dovresti sapere che esso non cambia aggiungendo o togliendo qualche termine. Esempio: la serie $\sum_{n = 1}^{+infty} 1/n $ e la serie $ \sum_{n = 23}^{+infty} 1/n $ sono entrambe divergenti a $+infty$
"Jaeger90":
nel caso in cui in una serie di potenze ho un termine con $(−1)^{k \pm 2}$, posso elidere il $\pm 2 $?
Se ti dà fastidio sì, d'altronde si ha:
$(- 1)^{k + 2} = (- 1)^k \cdot (-1)^2 = (-1)^k $
$(-1)^{k - 2} = (- 1)^k /(-1)^2 = (-1)^k $
"Jaeger90":
ho la serie di potenze $ \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^(k-2) t^k/k $
Qui farei così:
$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^(k-2) t^k/k = \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^k t^k/k = - \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^{k + 1} t^k/k = - ln(1 + t) = ln(1/(1 + t)) $
per $ - 1 < t <= 1 $
"pilloeffe":
per $ - 1 < t <= 1 $
E' questo il dubbio.
Perchè questo sia valido, e cioè per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin? Per quale motivo?
Per quanto riguarda la convergenza io trovo solo sia sui testi che online che
Totale => Uniforme => Puntuale
ma non trovo differenze tra assolutamente puntuale/puntuale ed assolutamente uniforme/uniforme.
E la convergenza assoluta per le serie numeriche a segno alterno dovrebbe essere scollegata da questo.
Up.
Cosa di preciso vuoi sapere?
"Jaeger90":
[quote="pilloeffe"]
per $ - 1 < t <= 1 $
E' questo il dubbio.
Perchè questo sia valido, e cioè per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin? Per quale motivo?
Per quanto riguarda la convergenza io trovo solo sia sui testi che online che
Totale => Uniforme => Puntuale
ma non trovo differenze tra assolutamente puntuale/puntuale ed assolutamente uniforme/uniforme.
E la convergenza assoluta per le serie numeriche a segno alterno dovrebbe essere scollegata da questo.
[/quote]Questa parte.
Cioè, non conosci la differenza tra convergenza e convergenza assoluta?
Mi pare strano...
Mi pare strano...
Quella non è un problema in se. Il problema è cosa significhi assolutamente puntuale o assolutamente uniforme.
Poi non trovo il motivo per cui per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin, o se ci sono anche altre condizioni del genere oltre alla convergenza puntuale.
Poi non trovo il motivo per cui per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin, o se ci sono anche altre condizioni del genere oltre alla convergenza puntuale.
"Jaeger90":
Quella non è un problema in se. Il problema è cosa significhi assolutamente puntuale o assolutamente uniforme.
Secondo te?
Assolutamente puntuale (una locuzione che mi fa personalmente ribrezzo, preferisco dire "convergenza assoluta puntuale") significa che per ogni $x in I$ converge la serie $sum |f_n (x)|$.
Assolutamente uniforme (una locuzione che mi fa personalmente ribrezzo, preferisco dire "convergenza uniforme dei moduli") significa che $sum |f_n|$ converge uniformemente in $I$.
"Jaeger90":
Poi non trovo il motivo per cui per poter utilizzare lo sviluppo di McLaurin a quella serie, devo avere che la serie deve convergere puntualmente nell'intervallo aperto corrispondente all'intervallo della serie di McLaurin, o se ci sono anche altre condizioni del genere oltre alla convergenza puntuale.
Non si capisce cosa vuoi.
Se vuoi usare un teorema (quello di derivazione termine a termine) devi essere sicuro che le sue ipotesi siano soddisfatte. Quali sono le ipotesi?
"gugo82":
Assolutamente puntuale (una locuzione che mi fa personalmente ribrezzo, preferisco dire "convergenza assoluta puntuale") significa che per ogni $x in I$ converge la serie $sum |f_n (x)|$.
Con "converge" sottointendi puntualmente, giusto?
"gugo82":
Se vuoi usare un teorema (quello di derivazione termine a termine) devi essere sicuro che le sue ipotesi siano soddisfatte. Quali sono le ipotesi?
Un attimo, da dove esce il teorema di derivazione termine a termine?
La serie viene riscritta direttamente come somma dello sviluppo in serie di Mclaurin (che so essere l'unico modo per effettuare la somma), ma non so dove trovare le varie ipotesi, come in questo caso che si abbia una precisa convergenza puntuale.
Ed a proposito di teorema di derivazione, come avevo chiesto in questo topic, non mi è chiaro come mai ci si possa ricondurre allo studio della serie derivata, e studiare essa.
Il teorema di derivazione per serie di potenze dice che la serie derivata ha stesso raggio di convergenza della serie di partenza.
Ma non trovo come questo significhi che allora entrambe le serie (di partenza e derivata), convergono puntualmente, assolutamente, uniformemente, totalmente allo stesso intervallo e abbiano la stessa somma.
Grazie.
"Jaeger90":
[quote="gugo82"]
Assolutamente puntuale (una locuzione che mi fa personalmente ribrezzo, preferisco dire "convergenza assoluta puntuale") significa che per ogni $x in I$ converge la serie $sum |f_n (x)|$.
Con "converge" sottointendi puntualmente, giusto?[/quote]
Se dico "piove" sto sottointendendo "cadono gocce d'acqua dalle nuvole in cielo"?...
Non sto sottointendendo nulla, leggi bene.
Scrivere "per ogni $x in I$ converge la serie $\sum |f_n(x)|$" equivale a scrivere "la serie $\sum |f_n|$ converge puntualmente in $I$".
"Jaeger90":
[quote="gugo82"]
Se vuoi usare un teorema (quello di derivazione termine a termine) devi essere sicuro che le sue ipotesi siano soddisfatte. Quali sono le ipotesi?
Un attimo, da dove esce il teorema di derivazione termine a termine?
La serie viene riscritta direttamente come somma dello sviluppo in serie di Mclaurin (che so essere l'unico modo per effettuare la somma), ma non so dove trovare le varie ipotesi, come in questo caso che si abbia una precisa convergenza puntuale.
Ed a proposito di teorema di derivazione, come avevo chiesto in questo topic, non mi è chiaro come mai ci si possa ricondurre allo studio della serie derivata, e studiare essa.
Il teorema di derivazione per serie di potenze dice che la serie derivata ha stesso raggio di convergenza della serie di partenza.
Ma non trovo come questo significhi che allora entrambe le serie (di partenza e derivata), convergono puntualmente, assolutamente, uniformemente, totalmente allo stesso intervallo e abbiano la stessa somma.[/quote]
Il comportamento di qualsiasi serie di potenze è noto:
[list=1][*:a5ncr6y5] un teorema ti dice che una s.d.p. converge puntualmente nell'interno di un intervallo simmetrico rispetto ad un punto e non converge all'esterno di esso; rimangono fuori (eventualmente) i due estremi di tale intervallo, in cui la convergenza va controllata caso per caso;
[/*:m:a5ncr6y5]
[*:a5ncr6y5] un importante famiglia di teoremi ti dice che la semiampiezza dell'intervallo di convergenza di una s.d.p., il cosiddetto raggio di convergenza, è completamente determinato dalla successione dei coefficienti della serie e ti dice come calcolarlo;
[/*:m:a5ncr6y5]
[*:a5ncr6y5] un semplice, ma notevolissimo teorema ti dice che una s.d.p. converge totalmente (e dunque anche uniformemente, assolutamente e puntualmente) su ogni sottointervallo compatto contenuto nell'interno del suo intervallo di convergenza;
[/*:m:a5ncr6y5]
[*:a5ncr6y5] un teorema di Abel ti dice che se c'è convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza, allora la convergenza è uniforme (e quindi pure puntuale) anche in ogni sottointervallo compatto che ha un estremo coincidente con l'estremo dove c'è convergenza.[/*:m:a5ncr6y5][/list:o:a5ncr6y5]
Visto che la serie derivata di una s.d.p. è anch'essa una s.d.p., anche la serie derivata di una s.d.p. ha un comportamento noto e descritto dai teoremi citati in precedenza. Inoltre, un importantissimo teorema ti dice che una s.d.p. e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza.
Ora, visto che (per fatti generali della teoria delle serie/successioni di funzioni) se una serie di funzioni e la sua serie derivata convergono uniformemente in uno stesso insieme, allora la somma della serie derivata è uguale alla derivata della somma della serie originaria, è evidente per quanto detto sopra che all'interno dell'intervallo di convergenza la serie delle derivate di una s.d.p. ha per somma la derivata della somma della s.d.p.
Queste considerazioni si applicano, il più delle volte, quando vuoi calcolare la somma di alcune ss.dd.pp. che non sono note.
Tanto per fare un esempio semplice, consideriamo $sum_(n=1)^oo 1/n x^n$ e vediamo cosa si può dire. Per i teoremi citati in precedenza, all'interno dell'intervallo di convergenza, cioè in $]-1,1[$, risulta:
\[
\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n \right)^\prime = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n}\ x^n \right)^\prime = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} \stackrel{k=n-1}{=} \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1 - x}
\]
poiché l'ultima serie è geometrica di ragione $x$ e convergente per le limitazioni imposte ad $x$; quindi sai che la somma $f(x)$ della s.d.p. $sum_(n=1)^oo 1/n x^n$ ha:
\[
f^\prime (x) = \frac{1}{1 - x}\; ;
\]
d'altra parte, $f(0)= sum_(n=1)^oo 1/n 0^n = 0$, quindi la tua $f(x)$ soddisfa il problema:
\[
\begin{cases}
f^\prime (x) = \frac{1}{1 - x}\\
f(0) = 0
\end{cases}\; ;
\]
il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ti dice che esisiste un'unica funzione che soddisfa il problema precedente, cioè la funzione integrale di $1/(1 - x)$ che nel punto iniziale $0$ assume valore $0$, perciò hai certamente:
\[
f(x) = \int_0^x \frac{1}{1 - t}\ \text{d} t = - \log |1 - t |\Big|_0^x = - \log (1 - x)
\]
(in cui ho eliminato il v.a. all'ultimo membro perchè $-1 < x < 1 => 0 < 1 - x < 2$); ed infine hai dimostrato che:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\ x^n = - \log (1 - x)\qquad \text{per ogni } -1 < x < 1\; .
\]
"gugo82":
Ora, visto che (per fatti generali della teoria delle serie/successioni di funzioni) se una serie di funzioni e la sua serie derivata convergono uniformemente in uno stesso insieme
Da dove deriva questa condizione e perchè non puntuale?
"gugo82":
allora la somma della serie derivata è uguale alla derivata della somma della serie originaria, è evidente per quanto detto sopra che all'interno dell'intervallo di convergenza la serie delle derivate di una s.d.p. ha per somma la derivata della somma della s.d.p.
Intervallo di convergenza uniforme?
"gugo82":
Consideriamo $sum_(n=1)^oo 1/n x^n$ e vediamo cosa si può dire. Per i teoremi citati in precedenza, all'interno dell'intervallo di convergenza, cioè in $]-1,1[$, risulta:
Credo che l'intervallo di convergenza (puntuale) sia $[-1,1[$, dato che per -1 si ha una serie armonica a segni alterni che converge semplicemente/puntualmente. Anche se da quanto vedo la derivazione si può fare solo nell'intervallo di convergenza aperto.
"gugo82":
d'altra parte, $f(0)= sum_(n=1)^oo 1/n 0^n = 0$, quindi la tua $f(x)$ soddisfa il problema:
\[
\begin{cases}
f^\prime (x) = \frac{1}{1 - x}\\
f(0) = 0
\end{cases}\; ;
\]
il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ti dice che esisiste un'unica funzione che soddisfa il problema precedente, cioè la funzione integrale di $1/(1 - x)$ che nel punto iniziale $0$ assume valore $0$, perciò hai certamente:
...
Qua non riesco a seguire la logica iniziale, nel senso che ho capito che fino a questo punto abbiamo calcolato la sommatoria della funzione derivata che abbiamo dimostrato in questo caso essere uguale alla derivata della sommatoria iniziale.
Per questo motivo possiamo integrare il risultato intero ottenuto, cioè $1/(1-x)$ ed avere la somma della funzione cercata.
Ho capito che la sommatoria della derivata parte da 0, ma non comprendo i passaggi e perchè si faccia la funzione in 0.
Grazie per la pazienza.
Letto ciò:
il consiglio è: meglio che vai a studiare seriamente, invece di scrivere sul forum.
Da un libro.
"Jaeger90":
[...] a me sembra che si abbia
Convergenza puntuale => Convergenza uniforme
ma non l'opposto
il consiglio è: meglio che vai a studiare seriamente, invece di scrivere sul forum.
Da un libro.
"gugo82":
Letto ciò:
[quote="Jaeger90"][...] a me sembra che si abbia
Convergenza puntuale => Convergenza uniforme
ma non l'opposto
il consiglio è: meglio che vai a studiare seriamente, invece di scrivere sul forum.
Da un libro.[/quote]
Per la stanchezza ho interpretato/letto male il contenuto del libro, ora questa cosa mi è chiara. A dir la verità mi era già chiara prima ma leggendo male mi ero confuso le idee..
Oltre alle altre domande che avevo posto, con quei calcoli ho visto che, almeno considerato l'intervallo aperto di $(-1;1)$, entrambe le serie di partenza e derivata convergono puntualmente in esso, anche se non ho controllato se anche gli estremi convergono allo stesso modo, ma credo non sia necessario che ciò avvenga.
Ma hai verificato in qualche modo che in quell'intervallo vi è anche convergenza uniforme per entrambe le serie? Perchè non lo vedo scritto e da quello che avevi scritto è una condizione necessaria e sufficiente per applicare il teorema di derivazione.
"Jaeger90":
Ma hai verificato in qualche modo che in quell'intervallo vi è anche convergenza uniforme per entrambe le serie? Perchè non lo vedo scritto e da quello che avevi scritto è una condizione necessaria e sufficiente per applicare il teorema di derivazione.
Si vede che non hai letto con attenzione…
"gugo82":
[list=1][*:xy29fgbg] un teorema ti dice che una s.d.p. converge puntualmente nell'interno di un intervallo simmetrico rispetto ad un punto e non converge all'esterno di esso; rimangono fuori (eventualmente) i due estremi di tale intervallo, in cui la convergenza va controllata caso per caso;
[/*:m:xy29fgbg]
[*:xy29fgbg] un importante famiglia di teoremi ti dice che la semiampiezza dell'intervallo di convergenza di una s.d.p., il cosiddetto raggio di convergenza, è completamente determinato dalla successione dei coefficienti della serie e ti dice come calcolarlo;
[/*:m:xy29fgbg]
[*:xy29fgbg] un semplice, ma notevolissimo teorema ti dice che una s.d.p. converge totalmente (e dunque anche uniformemente, assolutamente e puntualmente) su ogni sottointervallo compatto contenuto nell'interno del suo intervallo di convergenza;
[/*:m:xy29fgbg]
[*:xy29fgbg] un teorema di Abel ti dice che se c'è convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza, allora la convergenza è uniforme (e quindi pure puntuale) anche in ogni sottointervallo compatto che ha un estremo coincidente con l'estremo dove c'è convergenza.[/*:m:xy29fgbg][/list:o:xy29fgbg]
Visto che la serie derivata di una s.d.p. è anch'essa una s.d.p., anche la serie derivata di una s.d.p. ha un comportamento noto e descritto dai teoremi citati in precedenza. Inoltre, un importantissimo teorema ti dice che una s.d.p. e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza.
Riassumendo, per prima cosa si calcola la serie della funzione derivata.
Poi si verifica l'intervallo di convergenza (puntuale) di entrambe le serie, a meno degli estremi che possono avere caratteri diversi (credo?).
Per avere che la serie della derivata corrisponda alla derivata della serie, devo avere che entrambe abbiano lo stesso intervallo di convergenza uniforme.
L'intervallo di convergenza è $[-1;1)$
Ora, se l'intervallo di convergenza fosse chiuso come $[-1;1]$, avrei una convergenza uniforme in $(-1,1)$
Nel caso in esame, essendo invece l'intervallo di convergenza (puntuale) della serie di partenza e la serie della derivata $[-1;1)$, per il teorema di Abel vi è convergenza uniforme in $[-1;C]$ per ogni $C<1$, da come lo ho interpretato.
Quindi si ha che entrambe le serie convergono uniformemente nello stesso intervallo $[-1;C]$, e la condizione per l'applicazione del teorema di derivazione è verificata.
Ora la parte che mi rimane da capire (fino a prima della parte col sistema che non ho ben chiara) è
cioè se con con convergenza qua ti riferisci a quella uniforme.
Poi si verifica l'intervallo di convergenza (puntuale) di entrambe le serie, a meno degli estremi che possono avere caratteri diversi (credo?).
Per avere che la serie della derivata corrisponda alla derivata della serie, devo avere che entrambe abbiano lo stesso intervallo di convergenza uniforme.
L'intervallo di convergenza è $[-1;1)$
Ora, se l'intervallo di convergenza fosse chiuso come $[-1;1]$, avrei una convergenza uniforme in $(-1,1)$
Nel caso in esame, essendo invece l'intervallo di convergenza (puntuale) della serie di partenza e la serie della derivata $[-1;1)$, per il teorema di Abel vi è convergenza uniforme in $[-1;C]$ per ogni $C<1$, da come lo ho interpretato.
Quindi si ha che entrambe le serie convergono uniformemente nello stesso intervallo $[-1;C]$, e la condizione per l'applicazione del teorema di derivazione è verificata.
Ora la parte che mi rimane da capire (fino a prima della parte col sistema che non ho ben chiara) è
allora la somma della serie derivata è uguale alla derivata della somma della serie originaria, è evidente per quanto detto sopra che all'interno dell'intervallo di convergenza la serie delle derivate di una s.d.p. ha per somma la derivata della somma della s.d.p.
cioè se con con convergenza qua ti riferisci a quella uniforme.
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