Serie di potenze, calcolo del limite
Ciao, ho iniziato a fare qualche esercizio sulle serie di potenze(l'obiettivo è il calcolo del raggio di convergenza) e mi sono bloccato sul calcolo del limite:
$ sum_(n = 1)^(oo)(2^n+(-5)^n)/n*(x+1/2)^n$
Per prima cosa ho posto $z=x+1/2$ per cui la serie diventa:
$ sum_(n = 1)^(oo)(2^n+(-5)^n)/n*z^n$, quindi provo a trovare il raggio di convergenza, sfruttando il criterio della radice, e mi viene:
$lim_(n->oo)root(n)|(2^n+(-5)^n)/n|$ da cui $lim_(n->oo)root(n)|2^n+(-5)^n|/root(n)n$, poichè per $n->oo root(n)n->1$ rimarrebbe $lim_(n->oo)root(n)|2^n+(-5)^n|$ e qui non riesco ad andare oltre.
Ho quindi provato con il criterio del rapporto e qui mi viene:
$lim_(n->oo)(2^(n+1)+(-5)^(n+1))/(n+1)*n/(2^n+(-5)^n) = lim_(n->oo)(2^(n+1)+(-5)^(n+1))/(2^n+(-5)^n)*n/(n+1)$ e anche qui ho difficoltà relative all'impostazione della forma indeterminata $(2^(n+1)+(-5)^(n+1))/(2^n+(-5)^n)$ Si aggiunge il fatto che non avendo incontrato tipologie di limiti simili in precedenza, l'unica insistente idea che ho in testa è che dovrei sfruttare il fatto che $2^(n+1)/2^n -> 2$ per $n->oo$, per quanto anche questo, alla fine non mi aiuti granchè.
$ sum_(n = 1)^(oo)(2^n+(-5)^n)/n*(x+1/2)^n$
Per prima cosa ho posto $z=x+1/2$ per cui la serie diventa:
$ sum_(n = 1)^(oo)(2^n+(-5)^n)/n*z^n$, quindi provo a trovare il raggio di convergenza, sfruttando il criterio della radice, e mi viene:
$lim_(n->oo)root(n)|(2^n+(-5)^n)/n|$ da cui $lim_(n->oo)root(n)|2^n+(-5)^n|/root(n)n$, poichè per $n->oo root(n)n->1$ rimarrebbe $lim_(n->oo)root(n)|2^n+(-5)^n|$ e qui non riesco ad andare oltre.
Ho quindi provato con il criterio del rapporto e qui mi viene:
$lim_(n->oo)(2^(n+1)+(-5)^(n+1))/(n+1)*n/(2^n+(-5)^n) = lim_(n->oo)(2^(n+1)+(-5)^(n+1))/(2^n+(-5)^n)*n/(n+1)$ e anche qui ho difficoltà relative all'impostazione della forma indeterminata $(2^(n+1)+(-5)^(n+1))/(2^n+(-5)^n)$ Si aggiunge il fatto che non avendo incontrato tipologie di limiti simili in precedenza, l'unica insistente idea che ho in testa è che dovrei sfruttare il fatto che $2^(n+1)/2^n -> 2$ per $n->oo$, per quanto anche questo, alla fine non mi aiuti granchè.
Risposte
Premetto che quanto sto per scrivere è MOLTO sperimentale, però forse potrebbe non essere una cattiva idea fare una cosa del tipo
[tex]2^n + (-5)^n = 2^n + (-)^n\cdot 5^n = (-)^n ((-2)^n + 5^n)[/tex]
[tex]2^n + (-5)^n = 2^n + (-)^n\cdot 5^n = (-)^n ((-2)^n + 5^n)[/tex]
"ebrunaway":
sfruttando il criterio della radice, e mi viene:
$lim_(n->oo)root(n)|(2^n+(-5)^n)/n|$ da cui $lim_(n->oo)root(n)|2^n+(-5)^n|/root(n)n$, poichè per $n->oo root(n)n->1$ rimarrebbe $lim_(n->oo)root(n)|2^n+(-5)^n|$ e qui non riesco ad andare oltre.
Cosa succede se metti [tex]$(-5)^n$[/tex] in evidenza e lo porti fuori dalla radice?
"gugo82":
Cosa succede se metti [tex]$(-5)^n$[/tex] in evidenza e lo porti fuori dalla radice?
in questo modo? $lim_(n->oo) root(n)((-5)^n*(2^n/-5^n +1)) = lim_(n->oo) -5*root(n)(2^n/-5^n +1)$ con $root(n)(2^n/-5^n +1) -> 1$ quindi il limite sarebbe -5?
Occhio che c'è un valore assoluto in mezzo... Rivedi i passaggi e stai più attento. 
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