Serie di potenze assolutamente convergente

[zio_mangrovia]

Studiando questa serie:

$\sum_{n=1}^\infty x^n/((2^n)n)$

non capisco perché la soluzione dice che converge ASSOLUTAMENTE per $|x|<2$
Ok che $2$ è il raggio di convergenza ma perché converge assolutamente.
Io ho applicato la regoletta per il calcolo del raggio di convergenza, ma questa mi porta sempre all'assoluta convergenza ??!?
poi dice che in $-2$ diverge e mi torna, è converge semplicemente in $2$ perché semplicemente?

Io avrei trovato il raggio e detto che converge nell'intervallo $]-2,2]$

[otta96]

Nei compatti del tipo $[-r,r]$ con $r<\rho$ dove $\rho$ è il raggio di convergenza hai la convergenza totale, quindi uniforme, assoluta, e per di più anche quella assoluta è uniforme.
Ma sei sicuro del comportamento della seria per 2 e -2?

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

"zio_mangrovia":in −2 diverge e mi torna

A me invece non torna: per $x = - 2$ la serie diventa

$\sum_{n = 1}^{+infty}(- 1)^n frac{1}{n}$

notoriamente convergente a $\ln(frac{1}{2})$.

"zio_mangrovia":è converge semplicemente in 2 perché semplicemente?

Per $x = 2$ non converge né semplicemente né assolutamente, perché diventa la serie armonica, notoriamente divergente.

[zio_mangrovia]

"otta96":Nei compatti del tipo $[-r,r]$ con $r<\rho$ dove $\rho$ è il raggio di convergenza hai la convergenza totale, quindi uniforme, assoluta, e per di più anche quella assoluta è uniforme.
Ma sei sicuro del comportamento della seria per 2 e -2?

perdona la domanda banale, cosa sin intende esattamente per compatto?
Cosa intendi per uniforme? Hai indicazioni dove posso trovare queste definizioni spiegate piuttosto bene?
Verifico ciò che hai detto sugli estremi probabilmente una distrazione.

[otta96]

Dal tuo post mi pare di capire che ancora non sai cosa sono le successioni di funzioni.
Per quanto riguarda i compatti, ti basti sapere che gli intervalli limitati e chiusi in $RR$ sono compatti, e la convergenza uniforme è un tipo di convergenza che si studia per le successioni di funzioni, ad ogni modo le definizioni le trovi su Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Successio ... a_uniforme e https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_compatto, comunque non c'è proprio bisogno che te le guardi perché ora ti rispondo senza supporre che tu conosca questi argomenti.
Se $abs(x)<2$ hai che $abs(x^n/(n2^n))=abs(x^n)/n2^n

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