Serie di potenze: AIUTO!
Ciao a tutti!
Vorrei un piccolo aiuto: mi dite come svolgereste questa tipologia di serie di potenze?
$ \sum_{n=1}^infty ((logn)/n)^n x^(n^2) $
Grazie mille in anticipo a chiunque riesce a darmi una mano!!!!!
Vorrei un piccolo aiuto: mi dite come svolgereste questa tipologia di serie di potenze?
$ \sum_{n=1}^infty ((logn)/n)^n x^(n^2) $
Grazie mille in anticipo a chiunque riesce a darmi una mano!!!!!
Risposte
ciao, ti do un input, anche se dovresti scrivere qualcosa te prima...comunque io proverei col criterio della radice e poi ragionerei sulla x con calma...
Sì è quello che ho fatto... Ho applicato Cauchy per togliere quell'n^2 in modo tale che nel limite mi rimane solo x^n. Ma è proprio qui che mi blocco! Non ho scritto altro nel post iniziale perchè volevo capire se il mio modo di ragionare era sbagliato applicando subito la radice. Ma poi? Non so proprio come comportarmi con questo x^n nel limite!
attenzione, ricordiamoci che puoi applicare la radice SOLO se la serie è a termini positivi, dunque utilizziamo la convergenza assoluta e vediamo per quali $x$ converge e, secodo me, quella serie può convergere assolutamente e dunque semplicemente solo per $|x|<1$ dato che dopo aver applicato la radice utilizzando la convergenza assoluta abbiamo che
$lim_(n->+infty) log(n)|x^(n)|/n<1$. Ma vediamo anche gli altri cosa dicono
$lim_(n->+infty) log(n)|x^(n)|/n<1$. Ma vediamo anche gli altri cosa dicono
Innanzitutto, notate che quella roba lì è una serie di potenze, ma è "scritta male": infatti, in una serie di potenze che si rispetti dovrebbero comparire tutte le potenze della variabile, come appare evidente dal simbolo che si usa per denotarle, cioé:
\[
\tag{1}
\sum_{k=0}^\infty a_k\ x^k\; ,
\]
mentre la serie assegnata contiene solo alcune potenze della variabile, cioé quelle i cui esponenti sono quadrati perfetti, come risulta espandendo un po' la sommatoria:
\[
\sum_{n=1}^infty \left( \frac{\log n}{n}\right)^n x^{n^2} = \left( \frac{\log 1}{1}\right) x + \left( \frac{\log 2}{2}\right)^2 x^4 +\left( \frac{\log 3}{3}\right)^3 x^9 +\cdots + \left( \frac{\log n}{n}\right)^n x^{n^2}+\cdots
\]
Per scrivere la serie assegnata "come si deve", cioé nella forma (1) bisogna inserire con la forza tutte le potenze che non vi compaiono: ciò può essere fatto usando opportuni coefficienti nulli, cioé:
\[
a_k := \begin{cases} \left( \frac{\log n}{n}\right)^n &\text{, se } k =n^2 \text{ per qualche } n\geq 1\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Ora, il criterio di Cauchy per la determinazione del raggio di convergenza di una s.d.p. importa che:
\[
\rho = \frac{1}{\limsup_k \sqrt[k]{|a_k|}}
\]
(con le solite modifiche se il denominatore è nullo o infinito); dato che:
\[
\begin{split}
\sqrt[k]{|a_k|} &= \begin{cases} \sqrt[n^2]{\left( \frac{\log n}{n}\right)^n} &\text{, se } k =n^2 \text{ per qualche } n\geq 1\\
0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\\
&= \begin{cases} \sqrt[n]{\frac{\log n}{n}} &\text{, se } k =n^2 \text{ per qualche } n\geq 1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\end{split}
\]
è evidente che:
\[
\limsup_k \sqrt[k]{|a_k|} =1\; ,
\]
dunque il raggio di convergenza della serie assegnata è \(\rho =1\). Rimane solo da studiare il comportamento negli estremi dell'intervallo di convergenza, ma è cose semplicissima.
Altrimenti, se non si vogliono introdurre le potenze che mancano, basta considerare la serie come una serie numerica con parametro \(x\) e fare due conti.
Dato che:
\[
\sqrt[n]{\left| \left( \frac{\log n}{n}\right)^n x^{n^2} \right|} = \left( \frac{\log n}{n}\right) |x|^n
\]
si ha:
\[
\lim_n \sqrt[n]{\left| \left( \frac{\log n}{n}\right)^n x^{n^2} \right|} = \begin{cases} 0 &\text{, se } |x|\leq 1 \\ +\infty &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
è evidente che la serie converge per \(x\in [-1,1]\) per il criterio della radice.
\[
\tag{1}
\sum_{k=0}^\infty a_k\ x^k\; ,
\]
mentre la serie assegnata contiene solo alcune potenze della variabile, cioé quelle i cui esponenti sono quadrati perfetti, come risulta espandendo un po' la sommatoria:
\[
\sum_{n=1}^infty \left( \frac{\log n}{n}\right)^n x^{n^2} = \left( \frac{\log 1}{1}\right) x + \left( \frac{\log 2}{2}\right)^2 x^4 +\left( \frac{\log 3}{3}\right)^3 x^9 +\cdots + \left( \frac{\log n}{n}\right)^n x^{n^2}+\cdots
\]
Per scrivere la serie assegnata "come si deve", cioé nella forma (1) bisogna inserire con la forza tutte le potenze che non vi compaiono: ciò può essere fatto usando opportuni coefficienti nulli, cioé:
\[
a_k := \begin{cases} \left( \frac{\log n}{n}\right)^n &\text{, se } k =n^2 \text{ per qualche } n\geq 1\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Ora, il criterio di Cauchy per la determinazione del raggio di convergenza di una s.d.p. importa che:
\[
\rho = \frac{1}{\limsup_k \sqrt[k]{|a_k|}}
\]
(con le solite modifiche se il denominatore è nullo o infinito); dato che:
\[
\begin{split}
\sqrt[k]{|a_k|} &= \begin{cases} \sqrt[n^2]{\left( \frac{\log n}{n}\right)^n} &\text{, se } k =n^2 \text{ per qualche } n\geq 1\\
0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\\
&= \begin{cases} \sqrt[n]{\frac{\log n}{n}} &\text{, se } k =n^2 \text{ per qualche } n\geq 1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\end{split}
\]
è evidente che:
\[
\limsup_k \sqrt[k]{|a_k|} =1\; ,
\]
dunque il raggio di convergenza della serie assegnata è \(\rho =1\). Rimane solo da studiare il comportamento negli estremi dell'intervallo di convergenza, ma è cose semplicissima.
Altrimenti, se non si vogliono introdurre le potenze che mancano, basta considerare la serie come una serie numerica con parametro \(x\) e fare due conti.
Dato che:
\[
\sqrt[n]{\left| \left( \frac{\log n}{n}\right)^n x^{n^2} \right|} = \left( \frac{\log n}{n}\right) |x|^n
\]
si ha:
\[
\lim_n \sqrt[n]{\left| \left( \frac{\log n}{n}\right)^n x^{n^2} \right|} = \begin{cases} 0 &\text{, se } |x|\leq 1 \\ +\infty &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
è evidente che la serie converge per \(x\in [-1,1]\) per il criterio della radice.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo