Serie di potenze
La serie è la seguente :
$Σ ((5n+4^n)/(log(n)+5^n))*(x-1)^n$
An =$ Σ((5n+4^n)/(log(n)+5^n))$
Tramite il confronto asintotico trascuro 5n e il log, ottengo (4/5)^n, e siccome la ragione è <1 converge.
A questo punto ho un dubbio, per proseguire e trovare l'intervallo di convergenza devo utilizzare 4/5 oppure la soluzione della ragione della serie geometrica, quindi 1/(1-(4/5) ?
Ho inoltre una domanda anche su questa che è banale :
$Σ(1/(n^2+2))*(x/2)^n $
An = (1/(n^2+2))
Stando ai miei appunti devo risolvere il limite di An, in questo caso devo applicare il metodo del rapporto per vedere che tende a 0, oppure posso dirlo anche senza applicare nessun metodo? in generale devo sempre applicare ad An uno dei 4 metodi oppure posso risolvere il limite a prescindere? grazie
$Σ ((5n+4^n)/(log(n)+5^n))*(x-1)^n$
An =$ Σ((5n+4^n)/(log(n)+5^n))$
Tramite il confronto asintotico trascuro 5n e il log, ottengo (4/5)^n, e siccome la ragione è <1 converge.
A questo punto ho un dubbio, per proseguire e trovare l'intervallo di convergenza devo utilizzare 4/5 oppure la soluzione della ragione della serie geometrica, quindi 1/(1-(4/5) ?
Ho inoltre una domanda anche su questa che è banale :
$Σ(1/(n^2+2))*(x/2)^n $
An = (1/(n^2+2))
Stando ai miei appunti devo risolvere il limite di An, in questo caso devo applicare il metodo del rapporto per vedere che tende a 0, oppure posso dirlo anche senza applicare nessun metodo? in generale devo sempre applicare ad An uno dei 4 metodi oppure posso risolvere il limite a prescindere? grazie
Risposte
Per quanto riguarda le serie di potente, mi sa che qualcosa ti sfugge.
Quando le studi, prima di tutto devi capire qual è il raggio di convergenza della serie e per fare questo devi studiare la successione $a_n$ (supponendo che la serie è del tipo $sum_(n=1)^(+oo)a_nx^n$). Lo studio del raggio di convergenza va fatto con i due classici criteri (vd. teoria). Quello che hai fatto tu, nella prima serie, è studiarla come una serie numerica.
Quando le studi, prima di tutto devi capire qual è il raggio di convergenza della serie e per fare questo devi studiare la successione $a_n$ (supponendo che la serie è del tipo $sum_(n=1)^(+oo)a_nx^n$). Lo studio del raggio di convergenza va fatto con i due classici criteri (vd. teoria). Quello che hai fatto tu, nella prima serie, è studiarla come una serie numerica.
Riassumendo, sto lavorando con una serie del tipo:
$ Σ An(X-X0)^n $
Quindi devo trovare An = $(5n+4^n)/(log(n)+5^n) $
e X0 che mi deve annullare la X che quindi è 0.
Ora devo applicare per forza o il teorema del rapporto e della radice per trovare il raggio di convergenza.
Uso il teorema della Radice.
Lim = $ (4^n((5n)/4^n+1)) / (5^n(log(n)/5^n+1)) $ il tutto sotto radice quadrata elevato alla n
Sono sulla strada giusta?
$ Σ An(X-X0)^n $
Quindi devo trovare An = $(5n+4^n)/(log(n)+5^n) $
e X0 che mi deve annullare la X che quindi è 0.
Ora devo applicare per forza o il teorema del rapporto e della radice per trovare il raggio di convergenza.
Uso il teorema della Radice.
Lim = $ (4^n((5n)/4^n+1)) / (5^n(log(n)/5^n+1)) $ il tutto sotto radice quadrata elevato alla n
Sono sulla strada giusta?
si ma il tuo $x_o=1$
Si hai ragione il mio $x_0$ è 1 però stando ai miei appunti non lo devo utilizzare fino a quando non ho trovato il mio r, e in questo caso ho problemi ha trovare r, chiedevo se il procedimento fatto finora sia corretto
Ti ho scritto nel post di prima che andava bene.
Sei arrivato a capire il risultato di quel limite...ora qual è il raggio di convergenza?
Sei arrivato a capire il risultato di quel limite...ora qual è il raggio di convergenza?
Il risultato del limite è 4/5.
Quindi R è 5/4.
Le soluzioni sono (X0-r,X0+r)
Quindi 1+5/4 = 9/4
e 1-5/4 = -1/4
Sostituisco 9/4 e ottengo :
$\sum_{k=1}^N (5n+4^n)/(log(n)+5^n)*(5/4)^n$
Per risolvere questa serie posso utilizzare tutti e 4 criteri?
Quindi R è 5/4.
Le soluzioni sono (X0-r,X0+r)
Quindi 1+5/4 = 9/4
e 1-5/4 = -1/4
Sostituisco 9/4 e ottengo :
$\sum_{k=1}^N (5n+4^n)/(log(n)+5^n)*(5/4)^n$
Per risolvere questa serie posso utilizzare tutti e 4 criteri?
per il raggio di convergenza ci siamo. Ora per quanto riguarda gli estremi, hai davanti una serie numerica quindi ti devi rifare a quello che hai studiato riguardo le serie numeriche...
Ok quindi :
$\sum_{k=1}^N (5n+4^n)/(log(n)+5^n)*(5/4)^n $
Utilizzo il confronto asintotico e trascuro il 5n e il log, ottendo così $ 1^n $ che è una serie geometrica con ragione=1 quindi Diverge.
Mentre il secondo estremo :
$\sum_{k=1}^N (5n+4^n)/(log(n)+5^n)*(-3/4)^n $
Utilizzo il confronto asintotico e trascuro il 5n e il log, ottendo così $ (-3/5)^n $ che è una serie geometrica con ragione -3/5 quindi Converge.
Procedimento corretto?
$\sum_{k=1}^N (5n+4^n)/(log(n)+5^n)*(5/4)^n $
Utilizzo il confronto asintotico e trascuro il 5n e il log, ottendo così $ 1^n $ che è una serie geometrica con ragione=1 quindi Diverge.
Mentre il secondo estremo :
$\sum_{k=1}^N (5n+4^n)/(log(n)+5^n)*(-3/4)^n $
Utilizzo il confronto asintotico e trascuro il 5n e il log, ottendo così $ (-3/5)^n $ che è una serie geometrica con ragione -3/5 quindi Converge.
Procedimento corretto?
Si il ragionamento è giusto, quindi nell'insieme di convergenza andrai ad aggiungere l'estremo per cui la serie è venuta convergente.
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