Serie di potenze
Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi nello studio della convergenza di questa serie di potenze?
$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n}n!}{(n+2)!+135}(x-1)^n$
Io ho pensato di utilizzare il criterio del rapporto per calcolare il raggio di convergenza, ma non riesco a risolvere il limite.
Grazie per l'aiuto che mi darete!
$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n}n!}{(n+2)!+135}(x-1)^n$
Io ho pensato di utilizzare il criterio del rapporto per calcolare il raggio di convergenza, ma non riesco a risolvere il limite.
Grazie per l'aiuto che mi darete!
Risposte
Il criterio del rapporto va bene, dove ti blocchi nel calcolo del limite?
$lim_(n->\infty)[(n+1)*[(n+2)!+135]]/[(n+3)!+135]$
Dimentichi un $n!$ a denominatore
Io faccio questi passaggi:
$lim_(n->\infty)|a_(n+1)/a_n|$
quindi
$lim_(n->\infty)|[(-1)^(n+1)(n+1)!]/[(n+3)!+135]*[(n+2)!+135]/[(-1)^n*n!]|=lim_(n->\infty)|[(-1)^n*(-1)*(n+1)*n!]/[(n+3)!+135]*[(n+2)!+135]/[(-1)^n*n!]|$
perciò, semplificando $n!$ e $(-1)^n$ ottengo il limite che ho scritto prima.
Forse potrei poi continuare così:
$lim_(n->\infty)[[(n+1)(n+2)!]/[(n+3)!]+[(n+1)135]/[(n+3)!]]/[1+135/[(n+3)!]]=lim_(n->\infty)[(n+1)/(n+3)+135/((n+3)(n+2)n!)]/[1+135/((n+3)!)]=lim_(n->\infty)[(n+1+2)/(n+3)-2/(n+3)+135/((n+3)(n+2)n!)]/[1+135/((n+3)!)]=$
$=lim_(n->\infty)[1-2/(n+3)+135/((n+3)(n+2)n!)]/[1+135/((n+3)!)]=1$
E' corretto?
$lim_(n->\infty)|a_(n+1)/a_n|$
quindi
$lim_(n->\infty)|[(-1)^(n+1)(n+1)!]/[(n+3)!+135]*[(n+2)!+135]/[(-1)^n*n!]|=lim_(n->\infty)|[(-1)^n*(-1)*(n+1)*n!]/[(n+3)!+135]*[(n+2)!+135]/[(-1)^n*n!]|$
perciò, semplificando $n!$ e $(-1)^n$ ottengo il limite che ho scritto prima.
Forse potrei poi continuare così:
$lim_(n->\infty)[[(n+1)(n+2)!]/[(n+3)!]+[(n+1)135]/[(n+3)!]]/[1+135/[(n+3)!]]=lim_(n->\infty)[(n+1)/(n+3)+135/((n+3)(n+2)n!)]/[1+135/((n+3)!)]=lim_(n->\infty)[(n+1+2)/(n+3)-2/(n+3)+135/((n+3)(n+2)n!)]/[1+135/((n+3)!)]=$
$=lim_(n->\infty)[1-2/(n+3)+135/((n+3)(n+2)n!)]/[1+135/((n+3)!)]=1$
E' corretto?
Yes.
Bene, questo significa che il raggio di convergenza è pari ad 1 e l'intervallo di convergenza sarà [0;2].
Ora devo studiare la convergenza negli estremi dell'intervallo.
Posto x=0 avrò
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{(n+2)!+135}$
Questa serie come si studia?
Mentre, posto x=2 avrò
$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n*n!}{(n+2)!+135}$
che, essendo una serie a segni alterni, può essere studiata con Leibnitz. Il termine generale è infinitesimo e decrescente(?), quindi in x=2 la serie converge semplicemente. (Giusto?)
Ora devo studiare la convergenza negli estremi dell'intervallo.
Posto x=0 avrò
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{(n+2)!+135}$
Questa serie come si studia?
Mentre, posto x=2 avrò
$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n*n!}{(n+2)!+135}$
che, essendo una serie a segni alterni, può essere studiata con Leibnitz. Il termine generale è infinitesimo e decrescente(?), quindi in x=2 la serie converge semplicemente. (Giusto?)
1) la prima la puoi studiare usando il criterio del confronto osservando che a denominatore $(n+2)!+135>(n+2)!$ e quindi...
2) per lo stesso motivo che dicevo prima, dovresti anche riuscire a dimostrare che la successione dei termini generali è decrescente.
2) per lo stesso motivo che dicevo prima, dovresti anche riuscire a dimostrare che la successione dei termini generali è decrescente.
In x=0 effettuo il confronto $(n!)/((n+2)!+135)<(n!)/(n+2)!$
Posso dire che $(n!)/(n+2)!$ è convergente perché mi diventa $1/((n+1)(n+2))$ quindi una serie telescopica.
Di conseguenza, essendo maggiorante di $(n!)/((n+2)!+135)$ anch'essa sarà convergente.
Mi scuso per l'insistenza, ma ho grosse difficoltà con le serie perciò preferisco chiarire ogni dubbio, anche stupido.
Posso dire che $(n!)/(n+2)!$ è convergente perché mi diventa $1/((n+1)(n+2))$ quindi una serie telescopica.
Di conseguenza, essendo maggiorante di $(n!)/((n+2)!+135)$ anch'essa sarà convergente.
Mi scuso per l'insistenza, ma ho grosse difficoltà con le serie perciò preferisco chiarire ogni dubbio, anche stupido.
Fai benissimo: per quanto mi riguarda, ritengo le serie numeriche l'argomento più ostico di Analisi 1, in quanto si riesce a "ragionarci" bene solo facendo molta pratica (in realtà è vero per ogni tipologia di eserci di analisi, ma è anche vero che, mentre in altri casi si hanno più o meno delle regole fisse da seguire, con le serie tutto questo non è assolutamente vero). E quando arrivi ad applicare questi ragionamenti ai casi particolari per la convergenza di serie di potenze e funzioni, le cose si fanno ancora più ostiche.
Infatti quello delle serie è il primo argomento che mi ha proprio mandato in crisi nello studio di Analisi I e II. Purtroppo questa è una parte che nel mio corso di laurea si fa alla specialistica, quindi dopo 3 anni ho dovuto riprendere anche i limiti, che avevo ormai "rimosso".
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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