Serie di potenze
Ciao a tutti!
Mi sono imbattuto in questo esercizio che mi ha mandato letteralmente in crisi:
"Determinare l'insieme delle $x\inRR$ in cui converge la serie: $\sum_{n=1}^{infty} ((|x^n|+2n)/(3n^2+1))^(2n)$ "
Sinceramente non saprei neanche da dove iniziare.
Credo che per prima cosa si debba individuare il centro di tale serie, ma per farlo dovrei ricondurla alla forma
$\sum a_n(x-x_0)^n$
pensavo a una sostituzione del tipo $z=|x^n|+2n$ in modo da ottenere
$\sum_{n=1}^{infty} (1/(3n^2+1))^(2n)z^(2n)$
non son assolutamente sicuro sia lecita una tale azione, quindi mi appello al forum per un qualsiasi tipo di consiglio.
Grazie in anticipo a tutti!
Mi sono imbattuto in questo esercizio che mi ha mandato letteralmente in crisi:
"Determinare l'insieme delle $x\inRR$ in cui converge la serie: $\sum_{n=1}^{infty} ((|x^n|+2n)/(3n^2+1))^(2n)$ "
Sinceramente non saprei neanche da dove iniziare.
Credo che per prima cosa si debba individuare il centro di tale serie, ma per farlo dovrei ricondurla alla forma
$\sum a_n(x-x_0)^n$
pensavo a una sostituzione del tipo $z=|x^n|+2n$ in modo da ottenere
$\sum_{n=1}^{infty} (1/(3n^2+1))^(2n)z^(2n)$
non son assolutamente sicuro sia lecita una tale azione, quindi mi appello al forum per un qualsiasi tipo di consiglio.
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Quella non e` una serie (riconducibile a) una serie di potenze.
ah ok grazie!
riguarderò questo esercizio più avanti allora...
riguarderò questo esercizio più avanti allora...
Visto che le sto studiando anch'io provo a darti una soluzione facile facile (ma non ti fidare xD)
Affinchè la serie converga è necessario che $ \lim_{ n } {|x^n|+2n} / {3n^2+1} = 0 $, applicando due volte De L'Hospital il limite diventa $ {|x^n|log^2x} / 6 $ che tende a $ 0 $ se $ x \in (-1,1) $ In questa ipotesi possiamo maggiorare la serie così $ ({|x^n|+2n} / {3n^2+1})^{2n} < ({1+2n}/{3n^2+1})^{2n} $ e quest'ultima serie dovrebbe essere convergente (basta applicare il criterio della radice, sbaglio? ), quindi la condizione necessaria è anche sufficiente e l'intervallo di convergenza è $ (-1,1) $
Non so se è giusto ma spero ti possa essere utile, ciao.
Affinchè la serie converga è necessario che $ \lim_{ n } {|x^n|+2n} / {3n^2+1} = 0 $, applicando due volte De L'Hospital il limite diventa $ {|x^n|log^2x} / 6 $ che tende a $ 0 $ se $ x \in (-1,1) $ In questa ipotesi possiamo maggiorare la serie così $ ({|x^n|+2n} / {3n^2+1})^{2n} < ({1+2n}/{3n^2+1})^{2n} $ e quest'ultima serie dovrebbe essere convergente (basta applicare il criterio della radice, sbaglio? ), quindi la condizione necessaria è anche sufficiente e l'intervallo di convergenza è $ (-1,1) $
Non so se è giusto ma spero ti possa essere utile, ciao.
"perplesso":
Affinchè la serie converga è necessario che $ \lim_{ n } {|x^n|+2n} / {3n^2+1} = 0 $, applicando due volte De L'Hospital il limite diventa $ {|x^n|log^2x} / 6 $
Prima di tutto è un errore concettuale "derivare una successione" (anche se si può aggirare l'ostacolo...).
In secondo luogo vorrei chiederti da dove salta fuori il logaritmo...
Perchè $ x^n = e^{nlnx} $ e derivando rispetto a $ n $ ... 
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