Serie di Potenze
Nelle serie di potenze:
$a(n)(x-c)^n$
Posso applicare il teorema di Cauchy-Hadamar per trovare il raggio di convergenza.
Il raggio di convergenza si trova come:
$R=lim(x->oo)((a(n))/(a(n)+1))$
oppure come limite della radice ennesima di a(n)?
Inoltre una volta trovato il raggio di convergenza posso dire che la serie converge assolutamente per |x-c|
A questo punto leggo che c'è convergenza in ogni compatto contenuto in [-R+c;R+c].
Significa che in [(-R+c)-epslon;(R+c)-epslon] c'è conv uniforme?
$a(n)(x-c)^n$
Posso applicare il teorema di Cauchy-Hadamar per trovare il raggio di convergenza.
Il raggio di convergenza si trova come:
$R=lim(x->oo)((a(n))/(a(n)+1))$
oppure come limite della radice ennesima di a(n)?
Inoltre una volta trovato il raggio di convergenza posso dire che la serie converge assolutamente per |x-c|
A questo punto leggo che c'è convergenza in ogni compatto contenuto in [-R+c;R+c].
Significa che in [(-R+c)-epslon;(R+c)-epslon] c'è conv uniforme?
Risposte
$R = lim_(n->oo) (a_n)/(a_(n+1))$
"nunziox":
A questo punto leggo che c'è convergenza in ogni compatto contenuto in [-R+c;R+c]
Forse c'è scritto che la serie converge totalmente in ogni compatto contenuto nell'intervallo $(c - R , c + R)$ in cui la serie converge. Inoltre la convergenza totale implica la convergenza uniforme.
"nunziox":
Significa che in [(-R+c)-epslon;(R+c)-epslon] c'è conv uniforme?
?
Allora un es pratico, considerando la seguente serie di potenze:
$sum (x-1)^n/(n^2*log(n))$
questa ha centro c=1.
quindi
$R=lim_(n->oo)(a_n/(a_(n+1)))=1$
significa che c'è convergenza assoluta in
$[0;2]$
e convergenza totale quindi uniforme in
$ [a,b] sube [0;2] $
adesso in $[0;a[ , ]b;2]$ ci potrebbe essere uniforme ?
$sum (x-1)^n/(n^2*log(n))$
questa ha centro c=1.
quindi
$R=lim_(n->oo)(a_n/(a_(n+1)))=1$
significa che c'è convergenza assoluta in
$[0;2]$
e convergenza totale quindi uniforme in
$ [a,b] sube [0;2] $
adesso in $[0;a[ , ]b;2]$ ci potrebbe essere uniforme ?
"nunziox":
questa ha centro c=1.
quindi
$R=lim_(n->oo)(a_n/(a_(n+1)))=1$
Che c'entra il fatto che la serie abbia centro in $x = 1$ con il fatto che il raggio sia $1$? Quel "quindi"...?
"nunziox":
adesso in $[0;a[ , ]b;2]$ ci potrebbe essere uniforme ?
Potrebbe... Bisogna appurarlo.
Per il teorema di Leibniz $sum ( -1 )^n * 1/(n^2 * log(n)) < +oo$ e per il criterio dell'ordine di infinitesimo $sum 1/(n^2 * log(n)) < +oo$ quindi la serie di potenze è continua anche negli estremi del cerchio (intervallo) di convergenza.
no non intendevo che era una conseguenza mi sono espresso male.
Quindi negli intervalli rimanenti valuto come si comporta la funzione quando assume i valori agli estremi?
Studiando:
$sum (-1)^n 1/(n^2*log(n))$
e
$sum 1/(n^2logn)$
entrambe convergono puntualmente significa che in tutto l'intervallino $[0,a[$ e $]b,2]$ c'è convergenza?
Quindi negli intervalli rimanenti valuto come si comporta la funzione quando assume i valori agli estremi?
Studiando:
$sum (-1)^n 1/(n^2*log(n))$
e
$sum 1/(n^2logn)$
entrambe convergono puntualmente significa che in tutto l'intervallino $[0,a[$ e $]b,2]$ c'è convergenza?
"nunziox":
$sum (-1)^n 1/(n^2*log(n))$
e
$sum 1/(n^2logn)$
Entrambe convergono. Per il teorema di Abel, quindi, puoi dire che la serie di potenze converge uniformemente in $[0,2]$.
grazie!
L'ultima domanda.
Nel libro leggo che il raggio può anche essere determinato come:
$R=maxlim_(n->oo)(a_n)^(1/n)$
Questa è utilizzabile anche nel caso in cui il lim non esiste?
L'ultima domanda.
Nel libro leggo che il raggio può anche essere determinato come:
$R=maxlim_(n->oo)(a_n)^(1/n)$
Questa è utilizzabile anche nel caso in cui il lim non esiste?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo