Serie di potenze
Ecco il testo di un esercizio che c'era nello scritto di analisi 3 di lunedì scorso:
Si consideri la serie di funnzioni di variabile complessa:
\[
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(2z-\bar{z})^{n}
\]
1) Determinare l'insieme di convergenza della serie e segnarne l'immagine sul piano di Argand-Gauss.
2)Studiare la convergenza uniforme della serie data
1) Opero la sostituzione \(w=(1+i+2z-\bar{z})\) per ottenere una serie di potenze \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}w^{n}\) di cui calcolo il raggio di convergenza \(\rho=\frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{n^{5}+\sin n}{(n+1)^{5}+\sin (n+1)}}=1\).
Quindi la serie converge per \(|w|<1\). Tornando alla serie originaria \(|2z-\bar{z}+1+i|<1 \Rightarrow |2x+2ix-x+iy+1+i|<1 \Rightarrow |x+1+i(3y+1)|<1 \Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+(3y+1)^{2}}<1\).
Si tratta di un ellisse. Sulla frontiera abbiamo: \(w=-1 \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{5}+\sin n}\). Si tratta di una serie a termini alterni che se non sbaglio converge (ho utilizzato il criterio di Leibniz). Se invece \(w=1\) abbiamo \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}\) che converge (ho utilizzato il criterio del rapporto).
2) Per la convergenza uniforme non so da dove partire.
Si consideri la serie di funnzioni di variabile complessa:
\[
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(2z-\bar{z})^{n}
\]
1) Determinare l'insieme di convergenza della serie e segnarne l'immagine sul piano di Argand-Gauss.
2)Studiare la convergenza uniforme della serie data
1) Opero la sostituzione \(w=(1+i+2z-\bar{z})\) per ottenere una serie di potenze \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}w^{n}\) di cui calcolo il raggio di convergenza \(\rho=\frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{n^{5}+\sin n}{(n+1)^{5}+\sin (n+1)}}=1\).
Quindi la serie converge per \(|w|<1\). Tornando alla serie originaria \(|2z-\bar{z}+1+i|<1 \Rightarrow |2x+2ix-x+iy+1+i|<1 \Rightarrow |x+1+i(3y+1)|<1 \Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+(3y+1)^{2}}<1\).
Si tratta di un ellisse. Sulla frontiera abbiamo: \(w=-1 \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{5}+\sin n}\). Si tratta di una serie a termini alterni che se non sbaglio converge (ho utilizzato il criterio di Leibniz). Se invece \(w=1\) abbiamo \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}\) che converge (ho utilizzato il criterio del rapporto).
2) Per la convergenza uniforme non so da dove partire.
Risposte
"maxsiviero":
Si consideri la serie di funnzioni di variabile complessa:
\[
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(2z-\bar{z})^{n}
\]
[...]
1) Opero la sostituzione \(w=(1+i+2z-\bar{z})\) per ottenere una serie di potenze \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}w^{n}\) di cui calcolo il raggio di convergenza \(\rho=\frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{n^{5}+\sin n}{(n+1)^{5}+\sin (n+1)}}=1\).
Quindi la serie converge per \(|w|<1\). Tornando alla serie originaria \(|2z-\bar{z}+1+i|<1 \Rightarrow |2x+2ix-x+iy+1+i|<1 \Rightarrow |x+1+i(3y+1)|<1 \Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+(3y+1)^{2}}<1\).
Da dove esce quel \(+\)?
Dovrebbe essere \(w=(1+\imath)(2z-\bar{z})\)...
Un errore da scuola elementare (o media al massimo). Provo a rifare con i calcoli giusti e poi ci si rivede.
Riproviamo:
1) Opero la sostituzione \(w=(1+i)(2z-\bar{z})=x+ix\) (ho utilizzato la forma algebrica \(z=x+iy\)) per ottenere una serie di potenze \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}w^{n}\) di cui calcolo il raggio di convergenza \(\rho=\frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{n^{5}+\sin n}{(n+1)^{5}+\sin (n+1)}}=1\).
Quindi la serie converge per \(|w|<1\). Tornando alla serie originaria \(|x+ix|<1 \Rightarrow \sqrt{2x^{2}}<1 \Rightarrow \sqrt{2}x<1\).
Si tratta dell'insieme in figura:
Sulla frontiera abbiamo: \(w=-1 \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{5}+\sin n}\). Si tratta di una serie a termini alterni che se non sbaglio converge (ho utilizzato il criterio di Leibniz). Se invece \(w=1\) abbiamo \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}\) che converge (ho utilizzato il criterio del rapporto).
2) Per la convergenza uniforme non so da dove partire.
Così va meglio?
1) Opero la sostituzione \(w=(1+i)(2z-\bar{z})=x+ix\) (ho utilizzato la forma algebrica \(z=x+iy\)) per ottenere una serie di potenze \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}w^{n}\) di cui calcolo il raggio di convergenza \(\rho=\frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{n^{5}+\sin n}{(n+1)^{5}+\sin (n+1)}}=1\).
Quindi la serie converge per \(|w|<1\). Tornando alla serie originaria \(|x+ix|<1 \Rightarrow \sqrt{2x^{2}}<1 \Rightarrow \sqrt{2}x<1\).
Si tratta dell'insieme in figura:
Sulla frontiera abbiamo: \(w=-1 \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{5}+\sin n}\). Si tratta di una serie a termini alterni che se non sbaglio converge (ho utilizzato il criterio di Leibniz). Se invece \(w=1\) abbiamo \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5}+\sin n}\) che converge (ho utilizzato il criterio del rapporto).
2) Per la convergenza uniforme non so da dove partire.
Così va meglio?
"maxsiviero":
Ecco il testo di un esercizio che c'era nello scritto di analisi 3 di lunedì scorso:
Si consideri la serie di funnzioni di variabile complessa:
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(2z-\bar{z})^{n}
\]
1) Determinare l'insieme di convergenza della serie e segnarne l'immagine sul piano di Argand-Gauss.
2)Studiare la convergenza uniforme della serie data.
1) La serie assegnata si riconduce ad una serie di potenze con la sostituzione \(w=(1+\imath)(2z-\bar{z})\); la serie di potenze ausiliaria in \(w\) è:
\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^5+\sin n}\ w^n\; ,\]
la quale ha raggio di convergenza \(\rho =1\); pertanto il suo cerchio di convergenza è quello definito dalla limitazione \(|w|<1\).
La successione dei coefficienti, i.e. quella di termine generale \(\frac{1}{n^5+\sin n}\), è positiva, decrescente ed infinitesima: invero, la funzione \(\mathbb{R} \ni x\mapsto x^5+\sin x\in \mathbb{R}\) ha la derivata prima positiva per \(x\geq 1\), ergo essa è crescente; conseguentemente la successione di termine generale \(n^5+\sin n\) è positiva, crescente e non limitata superiormente; da ciò seguono le dette proprietà dei coefficienti della serie ausiliaria.
Un noto teorema di Picard assicura che la serie ausiliaria converge in tutti i punti della frontiera del cerchio di convergenza, escluso al più il punto \(1\); tuttavia si vede facilmente che per \(w=1\) si ottiene una serie convergente, pertanto l'insieme di convergenza della serie ausiliaria è tutto il cerchio chiuso \(|w|\leq 1\).
Tornando alla serie assegnata, possiamo dire che essa converge nell'insieme individuato dalla limitazione \(|2z-\bar{z}|\leq \frac{1}{|1+\imath|}\): tale insieme coincide sul piano di A-G con l'insieme \(\mathcal{E}:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x^2+9y^2\leq 1/2\}\) (infatti \(2z-\bar{z}=(2x+\imath 2y)-(x-\imath y)\)), il quale è un'ellisse chiusa con centro in \((0,0)\) e semiassi \(1/\sqrt{2},\ 1/3\sqrt{2}\).
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
fill="lightyellow"; stroke="orange"; ellipse([0,0],0.707,0.236);[/asvg]
2) Per quanto riguarda la convergenza uniforme, mi sembra che un teorema di Abel assicuri che la serie ausiliaria converge uniformemente in tutto il cerchio chiuso; quindi la serie assegnata convergerebbe uniformemente in tutta l'ellisse chiusa \(\mathcal{E}\).
Ma devi controllare.
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