Serie di potenze

[nadia891]

Ho iniziato da poco le serie di potenze quindi eventuali erroracci spero siano perdonati
Per studiare la serie $sum_n cos|nx|e^(-n|x|)$ ho posto $y=e^(-|x|)$ in modo da ottenere la serie di potenze $sum_n cos|nx|y^(n)$.
Solo che nel Procedere sia con il criterio di D'Alambert che con quello di Cauchy-Hadamad non riesco a risolvere i limiti e a trovare così il raggio di convergenza..
Oltre a questo quando ho cercato la soluzione del professore ho visto che lui l'ha svolta come una semplice serie di funzioni e non di potenze , ma fare questo non è sbagliato?

[ciampax]

Guarda che quella che hai scritto non è una serie di potenze. Infatti una tale serie deve avere la forma [tex]$\sum_{n=0}^\infty a_n t^n$[/tex] dove gli [tex]$a_n$[/tex] sono indipendenti dalla variabile, e nel tuo caso non succede questo.

[dave lizewski]

Il carattere della serie $sum_n cos|nx|e^(-n|x|)$ io lo determinerei così:
Osservo che la $x$ compare solo nel valore assoluto quindi è sufficiente studiare il
carattere della serie per $x>=0$ perchè il carattere sarà lo stesso per $-x$.

Caso $x=0$

$sum_n cos|nx|e^(-n|x|)$ = $sum_n cos(0) e^(0)$ = $sum_n 1
quindi la serie diverge.

Caso $x>0$

Osservo che $ | ( cos|nx| ) | <= 1 $ e che $ e^(-n|x|) = (e^(-|x|))^(n) $ con $ e^(-|x|) < 1 $
Ciò significa che la serie dei termini in valore assoluto è maggiorata dalla serie geometrica con base < 1.
Quindi la serie dei termini in valore assoluto è convergente.
Dalla assoluta convergenza segue che la serie data è anch'essa convergente.
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