Serie di potenze
Ciao a tutti, volevo chiedervi un consiglio su questo esercizio :
$\sum_{k=0}^oo 3^(n^2) * x^(n^2)$ , dovrei trovare il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza. Allora se fosse stata $\sum_{k=0}^oo 3^n * x^n$ avrei calcolato il limite per n tendente a infinito di an/an+1 ed sarebbe venuto R=1/3 ed l'insieme di convergenza |x|<=1/3. Il fatto che è n^2 e non n, cosa comporta nello svolgimento dell'esercizio? Ciao e grazie a tutti.
$\sum_{k=0}^oo 3^(n^2) * x^(n^2)$ , dovrei trovare il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza. Allora se fosse stata $\sum_{k=0}^oo 3^n * x^n$ avrei calcolato il limite per n tendente a infinito di an/an+1 ed sarebbe venuto R=1/3 ed l'insieme di convergenza |x|<=1/3. Il fatto che è n^2 e non n, cosa comporta nello svolgimento dell'esercizio? Ciao e grazie a tutti.
Risposte
Semplicemente, se scrivi la serie nella maniera standard [tex]\sum_m a_m x^m[/tex] ti accorgi che hai:
[tex]$a_m:=\begin{cases} 3^{n^2} &\text{, se $m=n^2$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex] *;
quindi devi applicare il criterio di Cauchy-Hadamard per il calcolo del raggio di convergenza.
Applicare il crtierio di Cauchy-Hadamard equivale a stabilire quale sia il numero [tex]$L=\limsup_m \sqrt[m]{|a_m|}$[/tex], cosa che si fa facilmente distinguendo i casi, e ricordando che il raggio di convergenza della serie è dato da [tex]r=\frac{1}{L}[/tex] (con le solite modifiche se [tex]$L=0,+\infty$[/tex]).
__________
* Infatti se cominci a scrivere i primi termini della serie trovi:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} 3^{n^2} x^{n^2}=3^0 + 3^1 x+ 3^4 x^4 +3^9 x^9 +\ldots =3^0 + 3^1 x+ 0 x^2 +0 x^3+3^4 x^4+ 0x^5+0 x^6 +0x^7 +0 x^8 +3^9 x^9 +\ldots$[/tex]
e noti subito che i coefficienti della serie sono dati dagli [tex]$a_m$[/tex] che abbiamo scritto sopra.
[tex]$a_m:=\begin{cases} 3^{n^2} &\text{, se $m=n^2$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex] *;
quindi devi applicare il criterio di Cauchy-Hadamard per il calcolo del raggio di convergenza.
Applicare il crtierio di Cauchy-Hadamard equivale a stabilire quale sia il numero [tex]$L=\limsup_m \sqrt[m]{|a_m|}$[/tex], cosa che si fa facilmente distinguendo i casi, e ricordando che il raggio di convergenza della serie è dato da [tex]r=\frac{1}{L}[/tex] (con le solite modifiche se [tex]$L=0,+\infty$[/tex]).
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* Infatti se cominci a scrivere i primi termini della serie trovi:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} 3^{n^2} x^{n^2}=3^0 + 3^1 x+ 3^4 x^4 +3^9 x^9 +\ldots =3^0 + 3^1 x+ 0 x^2 +0 x^3+3^4 x^4+ 0x^5+0 x^6 +0x^7 +0 x^8 +3^9 x^9 +\ldots$[/tex]
e noti subito che i coefficienti della serie sono dati dagli [tex]$a_m$[/tex] che abbiamo scritto sopra.
quindi se m=n^2 faccio la radice m-esima 3^m ed ottengo che il raggio è 1/3 ed anche l'insieme di convergenza è |x|<=1/3. Quindi diciamo che l'avere x elevato a n^2,anzichè a n non cambia nulla nè per il calcolo del raggio nè per l'insieme di convergenza?ciao e grazie.
Non cambia nulla in questo caso, ma in generale c'è una bella differenza.
E d'altra parte, non sarebbe stato corretto calcolare il raggio di convergenza sfruttando altri criteri, senza tener conto dei coefficienti nulli (a meno di fare considerazioni supplementari*).
__________
* Ad esempio, potevi notare che la sostituzione [tex]$y=3x$[/tex] riduce la serie a [tex]\sum y^{n^2}[/tex]; tale serie si può studiare come serie numerica con parametro [tex]$y$[/tex]: a questo punto ti è lecito applicare il criterio del rapporto per le serie numeriche e calcolare:
[tex]$\lim_n \frac{|y^{n^2}|}{|y^{(n+1)^2}|}=\lim_n |y|^{\left( \frac{n}{n+1}\right)^2} =|y|$[/tex],
cosicché la serie converge se [tex]$|y|<1$[/tex] e ciò importa [tex]$|x|<\tfrac{1}{3}$[/tex]. Poi si vede facilmente che la serie non converge in [tex]$\pm \tfrac{1}{3}$[/tex], ed i gioco è fatto.
E d'altra parte, non sarebbe stato corretto calcolare il raggio di convergenza sfruttando altri criteri, senza tener conto dei coefficienti nulli (a meno di fare considerazioni supplementari*).
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* Ad esempio, potevi notare che la sostituzione [tex]$y=3x$[/tex] riduce la serie a [tex]\sum y^{n^2}[/tex]; tale serie si può studiare come serie numerica con parametro [tex]$y$[/tex]: a questo punto ti è lecito applicare il criterio del rapporto per le serie numeriche e calcolare:
[tex]$\lim_n \frac{|y^{n^2}|}{|y^{(n+1)^2}|}=\lim_n |y|^{\left( \frac{n}{n+1}\right)^2} =|y|$[/tex],
cosicché la serie converge se [tex]$|y|<1$[/tex] e ciò importa [tex]$|x|<\tfrac{1}{3}$[/tex]. Poi si vede facilmente che la serie non converge in [tex]$\pm \tfrac{1}{3}$[/tex], ed i gioco è fatto.
@gugo: ma come le usi le proprietà delle potenze? 
[tex]$\frac{y^{n^2}}{y^{(n+1)^2}}=y^{-2n-1}$[/tex]
Uomo, abbiamo bisogno di una vacanza!
[tex]$\frac{y^{n^2}}{y^{(n+1)^2}}=y^{-2n-1}$[/tex]
Uomo, abbiamo bisogno di una vacanza!
Vabbé la sostanza non cambia... Sempre [tex]$|y|<1$[/tex] deve uscir fuori! Dai, riscrivo, però:
"e calcolare:
[tex]$\lim_n \frac{|y^{(n+1)^2}|}{|y^{n^2}|} =\lim_n |y|^{2n+1}$[/tex];
tale limite risulta [tex]$<1$[/tex] se e solo se [tex]$|y|<1$[/tex] (ed il limite è in verità [tex]$=0$[/tex]); quindi il criterio assicura convergenza per [tex]$|y|<1$[/tex], ossia per [tex]$|x|<\tfrac{1}{3}$[/tex]. Poi si vede facilmente che la serie non converge per [tex]$|x|\geq \tfrac{1}{3}$[/tex] (manca la condizione necessaria), ed i gioco è fatto."
Contenti?
"gugo82":
:lol: Vabbé la sostanza non cambia... Sempre [tex]$|y|<1$[/tex] deve uscir fuori!
Dai, riscrivo, però:
"e calcolare:
[tex]$\lim_n \frac{|y^{(n+1)^2}|}{|y^{n^2}|} =\lim_n |y|^{2n+1}$[/tex];
tale limite risulta [tex]$<1$[/tex] se e solo se [tex]$|y|<1$[/tex] (ed il limite è in verità [tex]$=0$[/tex]); quindi il criterio assicura convergenza per [tex]$|y|<1$[/tex], ossia per [tex]$|x|<\tfrac{1}{3}$[/tex]. Poi si vede facilmente che la serie non converge per [tex]$|x|\geq \tfrac{1}{3}$[/tex] (manca la condizione necessaria), ed i gioco è fatto."
Contenti?
LOL! Se ti faccio sentire cosa mi è venuto fuori oggi che ero sovrappensiero mentre spiegavo le derivate inizi a ridere ora e finisci dopodomani! Quindi sì, sono contento!
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