Serie di potenze
come si calcola l'intervallo di convergenza e la somma della seguente serie di
potenze
$\sum x^(2n+2)/(2n+2)$
Grazie
potenze
$\sum x^(2n+2)/(2n+2)$
Grazie
Risposte
Ho corretto un po' la formula; controlla se ci ho visto giusto. 
Per quanto riguarda il raggio di convergenza, bisogna ricondursi a qualcosa nella forma [tex]$\sum a_n y^n$[/tex] e qualche criterio; oppure, volendo lavorare sulla serie così com'è, bisogna usare il teorema di Cauchy-Hadamard.
Per la somma, basta ricordare qualche sviluppo di Taylor noto (io scommetterei su quello del logaritmo).
Per quanto riguarda il raggio di convergenza, bisogna ricondursi a qualcosa nella forma [tex]$\sum a_n y^n$[/tex] e qualche criterio; oppure, volendo lavorare sulla serie così com'è, bisogna usare il teorema di Cauchy-Hadamard.
Per la somma, basta ricordare qualche sviluppo di Taylor noto (io scommetterei su quello del logaritmo).
per il raggio di convergenza basta poste porre z=x^2 e viene -1
per la somma non riesco ad arrivarci...
per la somma non riesco ad arrivarci...
Beh, proviamo un po': ricordo che [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+1}\ z^{n+1} =-\ln (1-z)$[/tex]; nel nostro caso si ha:
[tex]$\sum \frac{1}{2n+2}\ x^{2n+2} =\frac{1}{2} \sum \frac{1}{n+1}\ (x^2)^{n+1}$[/tex]
ed applicando quanto ricordato:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2n+2}\ x^{2n+2} =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+1}\ (x^2)^{n+1} =-\frac{1}{2}\ \ln (1-x^2)$[/tex].
[tex]$\sum \frac{1}{2n+2}\ x^{2n+2} =\frac{1}{2} \sum \frac{1}{n+1}\ (x^2)^{n+1}$[/tex]
ed applicando quanto ricordato:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2n+2}\ x^{2n+2} =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+1}\ (x^2)^{n+1} =-\frac{1}{2}\ \ln (1-x^2)$[/tex].
Grazie mille...
Ti consiglio la lettura del primo capitolo del Analisi 2 di Gilardi (mi pare), insomma, il capitolo sulle serie di potenze. Risponde a tutte le tue domande.. con precisione. Non posso di certo ricopiartelo qui.. 
Ad esempio: se hai potenze lineari della $n$ a numeratore o denominatore, il raggio di convergenza non cambia (lo vedi immediatamente per esempio utilizzando il criterio del rapporto)
E quindi il raggio di convergenza di $sum \frac{x^{2n+2}}{2n+2}$ è lo stesso di $sum x^{2n+2}$..
Per un discorso più preciso ti rimando al libro..
Ad esempio: se hai potenze lineari della $n$ a numeratore o denominatore, il raggio di convergenza non cambia (lo vedi immediatamente per esempio utilizzando il criterio del rapporto)
E quindi il raggio di convergenza di $sum \frac{x^{2n+2}}{2n+2}$ è lo stesso di $sum x^{2n+2}$..
Per un discorso più preciso ti rimando al libro..
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