Serie di potenze?
ciao a tutti vi chiedo gentilmente di aiutarmi nel risolvere questa serie:
$\sum_{n=1}^infty (log(n+1)/(n+1))*x^n$ con $x>=0$
Per risolvere queste serie devo prima trovarmi il raggio di convergenza?Sbaglio o non rientra nel capitolo delle serie di potenze perchè in quel caso $x$ doveva essere $in RR$. giusto o sbaglio?Qualcuno può farmi un pò di chiarezza?
$\sum_{n=1}^infty (log(n+1)/(n+1))*x^n$ con $x>=0$
Per risolvere queste serie devo prima trovarmi il raggio di convergenza?Sbaglio o non rientra nel capitolo delle serie di potenze perchè in quel caso $x$ doveva essere $in RR$. giusto o sbaglio?Qualcuno può farmi un pò di chiarezza?
Risposte
Perché non provi a usare il criterio del rapporto? Non è difficile dimostrare la condizione su x affinché la serie converga o diverga.
ho applicato il criterio del rapporto come hai detto tu facendo
$\lim_{x \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1))=2$
così la serie diverge per il criterio del rapporto.giusto?
$\lim_{x \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1))=2$
così la serie diverge per il criterio del rapporto.giusto?
"mazzy89":
ho applicato il criterio del rapporto come hai detto tu facendo
$\lim_{x \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1))=2$
così la serie diverge per il criterio del rapporto.giusto?
C'è un errore di calcolo, il limite del rapporto $a_(n+1)/a_(n)$ in realtà è
$\lim_{n \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1)) x$
hai semplificato troppo!
e non mi torna neppure il limite del rapporto che hai scritto, perché ti viene 2 e non 1?
"Zkeggia":
[quote="mazzy89"]ho applicato il criterio del rapporto come hai detto tu facendo
$\lim_{x \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1))=2$
così la serie diverge per il criterio del rapporto.giusto?
C'è un errore di calcolo, il limite del rapporto $a_(n+1)/a_(n)$ in realtà è
$\lim_{n \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1)) x$
hai semplificato troppo!
e non mi torna neppure il limite del rapporto che hai scritto, perché ti viene 2 e non 1?[/quote]
si giusto il limite rifacendolo è 1 non 2.nel criterio del rapporto devo anche considerare la x e perchè?applicando il criterio del rapporto nulla posso dire della serie dato ke il limite risulta 1.allora il criterio del rapporto fallisce
Non hai capito, se il termine generale è
$log (n+1)/(n+1)x^n$ allora il criterio del rapporto sarà:
$\lim_{n \to \infty} (log(n+2)/(n+2))x^n+1/(log(n+1)/(n+1)) x^n$
ovvero
$\lim_{n \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1)) \lim_{n \to \infty} x = 1 lim_{n \to \infty} x = x$
e da qui le varie discussioni sull'andamento del limite. Ti torna ora?
$log (n+1)/(n+1)x^n$ allora il criterio del rapporto sarà:
$\lim_{n \to \infty} (log(n+2)/(n+2))x^n+1/(log(n+1)/(n+1)) x^n$
ovvero
$\lim_{n \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1)) \lim_{n \to \infty} x = 1 lim_{n \to \infty} x = x$
e da qui le varie discussioni sull'andamento del limite. Ti torna ora?
"Zkeggia":
devi considerare il termine $a_n$ della successione, e il termine $a_n$ è definito come
$log (n+1)/(n+1)x^n$ quindi lo devi considerare per forza. Pensa a x come a un numero se ti aiuta: se tu avessi la successione
$log (n+1)/(n+1)2^n$ il 2 lo considereresti? la risposta è certo che sì, dal momento che fa parte della successione!, e lo stesso discorso vale per le x. La serie che studi ha come termine generale tutto il "pacchetto", quindi applicare il criterio della radice significa considerare ogni cosa, x compresa.
esattamente il tuo discorso non fa nenche una piega.ma riguardo al criterio del rapporto?il limite è uguale 1 e quando è uguale ad 1 nulla possiamo dire del comportamento della serie e quindi il criterio fallisce
Non hai capito, se il termine generale è
$log (n+1)/(n+1)x^n$ allora il criterio del rapporto sarà:
$\lim_{n \to \infty} ((log(n+2)/(n+2))x^(n+1))/((log(n+1)/(n+1)) x^n)$
ovvero
$\lim_{n \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1)) \lim_{n \to \infty} x = 1 lim_{n \to \infty} x = x$
e da qui le varie discussioni sull'andamento del limite. Ti torna ora?
$log (n+1)/(n+1)x^n$ allora il criterio del rapporto sarà:
$\lim_{n \to \infty} ((log(n+2)/(n+2))x^(n+1))/((log(n+1)/(n+1)) x^n)$
ovvero
$\lim_{n \to \infty} (log(n+2)/(n+2))/(log(n+1)/(n+1)) \lim_{n \to \infty} x = 1 lim_{n \to \infty} x = x$
e da qui le varie discussioni sull'andamento del limite. Ti torna ora?
ecco perfetto tutto torna.ti ringrazio mi sei stato molto d'aiuto gentilissimo
L'esercizio non è finito. Per ora hai dimostrato che la serie converge se $|x|<1$ che nel tuo caso, dovendo essere $x>=0$, diventa $0<=x<1$. Ma cosa succede nel punto estremale, ovvero per $x=1$? Si può includere?
"K.Lomax":
L'esercizio non è finito. Per ora hai dimostrato che la serie converge se $|x|<1$ che nel tuo caso, dovendo essere $x>=0$, diventa $0<=x<1$. Ma cosa succede nel punto estremale, ovvero per $x=1$? Si può includere?
be nel punto $x=1$ la serie diventa:
$\sum_(n=1)^infty (log(n+1)/(n+1))*(1)^n$
quindi si deve risolvere questa serie:
$\sum_(n=1)^infty log(n+1)/(n+1)$
svolgendo il limite:
$lim_(x to infty) log(n+1)/(n+1)=0$
si può dire che per $x=1$ la serie converge. giusto?
Si, con $x=1$ per $n->\infty$ $a_n$ tende a zero e quindi la serie converge. Questo implica che l'intervallo di convergenza è $0<=x<=1$.
"K.Lomax":
Si, con $x=1$ per $n->\infty$ $a_n$ tende a zero e quindi la serie converge. Questo implica che l'intervallo di convergenza è $0<=x<=1$.
esattamente. ti ringrazio per le precisioni fatte.
"K.Lomax":
Si, con $x=1$ per $n->\infty$ $a_n$ tende a zero e quindi la serie converge. Questo implica che l'intervallo di convergenza è $0<=x<=1$.
Attenzione, $a_n\to 0$ per $n->\infty$ è una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Inoltre:
$\sum_{n=1}^{\infty} log(n+1)/(n+1) = +\infty$ (perchè?)
"Mathematico":
[quote="K.Lomax"]Si, con $x=1$ per $n->\infty$ $a_n$ tende a zero e quindi la serie converge. Questo implica che l'intervallo di convergenza è $0<=x<=1$.
Attenzione, $a_n\to 0$ per $n->\infty$ è una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Inoltre:
$\sum_{n=1}^{\infty} log(n+1)/(n+ 1) = +\infty$ (perchè?)[/quote]
si giusto è solo cond necessaria e sono d'accordo con te ma non capisco perchè
$\sum_{n=1}^{\infty} log(n+1)/(n+1)=infty$
$log(n+1)$ è una successione crescente ed inoltre per ogni $n\in NN, log(n+1)>0 " (perchè?)"$ ne consegue che $log(2)<= log(n+1) AA n\in NN$. Quindi possiamo minorare $log(n+1)/(n+1)$ con $log(2)/(n+1)$. Prova da solo a verificare che la serie:
$\sum_{n=1}^{infty} log(2)/(n+1)$ diverge positivamente, non è difficile
. A questo punto utilizzi il criterio del confronto.
$\sum_{n=1}^{infty} log(2)/(n+1)$ diverge positivamente, non è difficile
. A questo punto utilizzi il criterio del confronto.
Si è corretto. La serie è divergente in quanto minorando risulta superiore ad una serie armonica che, come ben noto, è divergente. Il punto $x=1$ è dunque da escludere. Pardon 
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