Serie di potenze

[Samuele201]

Nella sezione esercizi ho trovato questa serie di potenze

https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... E(%2binfty)((-1)%5En*n%5E3)%108%5En(x%2b5)%5E(3n)%24_200711051994/

Tuttavia non capisco per qual motivo nella soluzione, nell'applicazione del teorema del rapporto asintotico, inserisca anche la x. A lezione me lo hanno enunciato considerando solo la successione che precede la potenza n-esima. La differenza è rilevante perchè si ottengono due raggi di convergenza totalmente diversi

[Luca.Lussardi]

Ho usato il criterio del rapporto sull'intera serie, ignorando il fatto che sia di potenze. Probabilmente tu hai in mente il Teorema generale che ti dà il raggio di convergenza, e che lavora solo sull'espressione che moltiplica la potenza di $x$. Ma dovresti ottenere lo stesso risultato.

[Samuele201]

A me viene
n + 1 3
(-1) ·(n + 1) n
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·8 ^n
n + 1
8
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=-1/8 (ne considero il valore assoluto)
n→+∞ n 3
(-1) ·n
E quindi il raggio di convergenza è 8, applicato al pt iniziale -5 si ha la convergenza per ogni x appartentente a (-13,3) o sbaglio?

[Luca.Lussardi]

Attento: il raggio di convergenza è vero che viene $8$ però allora la serie converge se $|x+5|^3<8$, non se $|x+5|<8$. Se leggi con cura le ultime righe della soluzione mia ti accorgevi dell'errore.

P.S. Impare a scrivere in mathml.

[Samuele201]

mmm mi sa che dovrò fare più esercizi , grazie

[Samuele201]

Altro dubbio. Dopo aver trovato il raggio di convergenza, vado a verificare se, per x=raggio di convergenza, la serie numerica ottenuta converge. I valori da sostituire alla x sono +/- 8 o -7 e -3 ottenuti studiando |x+5|3<8?

edit: in quqesto caso:
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... E(%2binfty)((-1)%5E(n-1)*n)%1010%5E(n%2b1)(x-1)%5E(n%2b2)%24_200711051995/
L'ho risolto con il teor del rapp asintotico e il raggio di convergenza viene uguale a 10. Trovando l'intervallo di x per cui converge ho considerato anche il quadrato del valore assoluto, perchè invece la soluzione non l'ha fatto?

[gugo82]

[mod="Gugo82"]@Samuele20: su questo forum abbiamo un applicazione che consente di inserire le formule scritte in maniera comprensibile: si chiama MathML e trovi la guida per imparare ad usarlo qui.

Ci vogliono solo cinque minuti per imparare e per non far impazzire gli altri utenti dietro notazioni improbabili (e alquanto brutte), grazie.[/mod]

[Samuele201]

Non è una formula ma un link che è stato codificata male, per questo il link che lo precede è corrotto

[gugo82]

"Samuele20":Non è una formula ma un link che è stato codificata male, per questo il link che lo precede è corrotto

Ragazzo, so quel che dico: questo non mi pare un link corrotto, no?

"Samuele20":A me viene
n + 1 3
(-1) ·(n + 1) n
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·8 ^n
n + 1
8
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=-1/8 (ne considero il valore assoluto)
n→+∞ n 3
(-1) ·n
E quindi il raggio di convergenza è 8, applicato al pt iniziale -5 si ha la convergenza per ogni x appartentente a (-13,3) o sbaglio?

Sempre meglio considerare attentamente i consigli di due moderatori, no?