Serie di potenze
Ciao a tutti.
Sonodisperato: son giorni e giorni che sbatto la testa su queste serie di potenze senza cavarne un ragno dal buco.
Eppure in analisi 1 era tutto così chiaro... le cose, adesso, si sono terribilmente complicate!
Venendo al sodo: cosa sono queste serie di potenze? Che tipo di requisiti deve avere una serie per essere definita "di potenze"? Quali sono i teoremi che devo studiare, insieme alle serie, in un contesto ingegneristico?
Grazie a chiunque voglia tirarmi fuori da questo fosso in cui sono inciampato e da cui non riesco ad uscire.
Sonodisperato: son giorni e giorni che sbatto la testa su queste serie di potenze senza cavarne un ragno dal buco.
Eppure in analisi 1 era tutto così chiaro... le cose, adesso, si sono terribilmente complicate!
Venendo al sodo: cosa sono queste serie di potenze? Che tipo di requisiti deve avere una serie per essere definita "di potenze"? Quali sono i teoremi che devo studiare, insieme alle serie, in un contesto ingegneristico?
Grazie a chiunque voglia tirarmi fuori da questo fosso in cui sono inciampato e da cui non riesco ad uscire.
Risposte
Allora per quello che ne so io, una serie di potenze si presenta in questa forma:
$\sum_{n=1}^infty (a_n)x^n$ dove $a_n$ è una serie numerica. Di questa serie numerica devi calcolarti il raggio di convergenza, nel seguente modo:
$\lim_{n \to \infty}(a_n/a_(n+1))=r$ oppure $\lim_{n \to \infty}1/((a_n)^(1/n))=r$
In base al raggio di convergenza si distinguono tre casi, che ora non ricordo, e per determinare la convergenza semplice vedi come si comporta la serie agli estremi del raggio di convergenza (es. se $r=1$ vai a sostituire $x=1$ e $x=-1$, così da studiarti una serie di Analisi I, nota che per $x=-1$ devi applicare il criterio di Leibneiz). Se converge per $x=r$ e $x=-r$ allora converge semplicemente nell'intervallo chiuso e limitato $[-r, r]$, se non converge in uno dei due estremi allora l'intervallo sarà aperto in quell'estremo. Per la convergenza uniforme applichi il Teorema di Abel. Le serie più ostiche sono quelle di funzioni, dove non puoi applicare i teoremi sul raggio di convergenza!
Non so se sono stato chiaro...Spero di si!
$\sum_{n=1}^infty (a_n)x^n$ dove $a_n$ è una serie numerica. Di questa serie numerica devi calcolarti il raggio di convergenza, nel seguente modo:
$\lim_{n \to \infty}(a_n/a_(n+1))=r$ oppure $\lim_{n \to \infty}1/((a_n)^(1/n))=r$
In base al raggio di convergenza si distinguono tre casi, che ora non ricordo, e per determinare la convergenza semplice vedi come si comporta la serie agli estremi del raggio di convergenza (es. se $r=1$ vai a sostituire $x=1$ e $x=-1$, così da studiarti una serie di Analisi I, nota che per $x=-1$ devi applicare il criterio di Leibneiz). Se converge per $x=r$ e $x=-r$ allora converge semplicemente nell'intervallo chiuso e limitato $[-r, r]$, se non converge in uno dei due estremi allora l'intervallo sarà aperto in quell'estremo. Per la convergenza uniforme applichi il Teorema di Abel. Le serie più ostiche sono quelle di funzioni, dove non puoi applicare i teoremi sul raggio di convergenza!
Non so se sono stato chiaro...Spero di si!
Sei stato chiaro, e se continuo a non capire il problema di certo non sei tu!!
Allora, fatemi capire: mi trovo davanti una serie di funzione, e con una di quelle due formulette mi trovo il "raggio di convergenza".
Tale raggio servirà a determinare un intervallo in cui la serie SICURAMENTE converge. Giusto?
I tre casi si differiscono nel comportamento agli estremi di tale intervallo?
Grazie.
Allora, fatemi capire: mi trovo davanti una serie di funzione, e con una di quelle due formulette mi trovo il "raggio di convergenza".
Tale raggio servirà a determinare un intervallo in cui la serie SICURAMENTE converge. Giusto?
I tre casi si differiscono nel comportamento agli estremi di tale intervallo?
Grazie.
Esattamente, ma bada che il raggio di convergenza puoi calcolarlo così se e solo se la serie di funzioni proposta è una serie di potenze! Mentre per quanto riguarda i tre casi (riguardando i miei appunti) sono:
1)Se $r=0$ allora la serie di potenze converge solo per $x=0$;
2)Se $0
Solitamente per le serie di potenze viene chiesto di calcolarsi la convergenza puntuale ed uniforme, e qui in seguito ti scrivo i medoti:
CONVERGENZA PUNTUALE:
1)Se la serie converge per $x=-r$ e per $x=r$ allora converge puntualmente (o semplicemente, è uguale) per $x in [-r,r]$;
2)Se la serie converge per $x=-r$ e NON per $x=r$ allora converge puntualmente (o semplicemente, è uguale) per $x in [-r,r[$;
3)Se la serie NON converge per $x=-r$ e CONVERGE per $x=r$ allora converge puntualmente (o semplicemente, è uguale) per $x in ]-r,r]$;
Nota: sostituendo $x=-r$ o $x=r$ alla serie di potenze, la serie diventa una serie numerica da risolvere con metodi di analisi I; inoltre per $x=-r$ studi una serie a segni alterni!
CONVERGENZA UNIFORME:
Si usa il teorema di Abel, che dice:
Se la serie di potenze converge per $x=-r$ allora la serie converge uniformemente per $x in [-r, rho]$ con $-r
Effettivamente il post era un pò incompleto, ora dovresti avere tutte le informazioni necessarie per poter studiare senza problemi una serie di potenze! Spero di esserti stato d'aiuto!
1)Se $r=0$ allora la serie di potenze converge solo per $x=0$;
2)Se $0
Solitamente per le serie di potenze viene chiesto di calcolarsi la convergenza puntuale ed uniforme, e qui in seguito ti scrivo i medoti:
CONVERGENZA PUNTUALE:
1)Se la serie converge per $x=-r$ e per $x=r$ allora converge puntualmente (o semplicemente, è uguale) per $x in [-r,r]$;
2)Se la serie converge per $x=-r$ e NON per $x=r$ allora converge puntualmente (o semplicemente, è uguale) per $x in [-r,r[$;
3)Se la serie NON converge per $x=-r$ e CONVERGE per $x=r$ allora converge puntualmente (o semplicemente, è uguale) per $x in ]-r,r]$;
Nota: sostituendo $x=-r$ o $x=r$ alla serie di potenze, la serie diventa una serie numerica da risolvere con metodi di analisi I; inoltre per $x=-r$ studi una serie a segni alterni!
CONVERGENZA UNIFORME:
Si usa il teorema di Abel, che dice:
Se la serie di potenze converge per $x=-r$ allora la serie converge uniformemente per $x in [-r, rho]$ con $-r
Effettivamente il post era un pò incompleto, ora dovresti avere tutte le informazioni necessarie per poter studiare senza problemi una serie di potenze! Spero di esserti stato d'aiuto!
Caro Gios,
non potevo chiedere spiegazione più chiara.
Inoltre vorrei avvisarti che hai un pm, quando hai un secondo leggilo.
Grazie mille!
non potevo chiedere spiegazione più chiara.
Inoltre vorrei avvisarti che hai un pm, quando hai un secondo leggilo.
Grazie mille!
Sono felice di esserti stato d'aiuto! 
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