Serie di potenze

[vivianalabarba]

Salve a tutti...
Qualcuno potrebbe aiutarmi a svolgere questa serie.....??

Sviluppare f(x)=x/Sqrt(1+x) in una serie di potenze e indicarne l'intervallo di convergenza.

Mille grazie...!!!!! Sono disperata!!!!!!!!

Ps. Sqrt indica la radice quadrata di (1+x) !!!!!

[pat871]

Solo qualche trick:
1) Per $|x|<1$ e $a \in CC$ vale il seguente sviluppo binomiale:
$(1+x)^a = \sum_{n=0}^{infty} ((a),(n)) x^n$

Lo sviluppo binomiale generalizzato è definito così:
$((a),(n)) := (a*(a - 1)* ...*(a -n + 1))/(n!)$, con $a \in CC$.

2) $((-1/2),(n)) = ((-1/2)*(-1/2 - 1)* ...*(-1/2 -n + 1))/(n!) = (-1)^n/(2^n) * (1*3*...*(2n-1))/(n!)$

Adesso non dovresti avere troppi problemi credo...

[vivianalabarba]

Scusa ma temo di non aver capito... Per te dovrei svilupparla come una serie binomiale ma con il numeratore cosa faccio?????? Lo tiro fuori dalla sommatoria che mi trovo a sviluppare...?

Perdonami ma sono nel pallone...

[pat871]

Per $|x|<1$ vale:

$f(x) = x/(sqrt(1+x)) = x* sum_{n=0}^{infty} ((-1/2),(n)) x^n = sum_{n=0}^{infty} ((-1/2),(n)) x^(n+1) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/2^n * (1*3* ...*(2n-1))/(n!) x^(n+1)$

Questa è la tua serie cercata.
Ora verifica il raggio di convergenza con la definizione. Dovrebbe uscirti proprio 1.

[vivianalabarba]

Mille grazie.............!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!