Serie di potenze
Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{\log(n+1)}(x-2)^n$
Cominciamo col trovare il raggio di convergenza:
$\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{(n+1)^2}{\log(n+2)}*\frac{\log(n+1)}{n^2}$. Pertanto il raggio di convergenza è 1 e la funzione converge sicuramente nell'intervallo $]1;3[$. La funzione converge assolutamente nell'intervallo $]1;3[$.
Adesso ho due domande:
1) per la convergenza puntuale per $x=1$ e $x=3$ devo sostituire e poi studiare le due serie numeriche così ottenute. Giusto?
2) come faccio a discutere la convergenza uniforme?
Attendo con ansia le vostre risposte
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{\log(n+1)}(x-2)^n$
Cominciamo col trovare il raggio di convergenza:
$\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{(n+1)^2}{\log(n+2)}*\frac{\log(n+1)}{n^2}$. Pertanto il raggio di convergenza è 1 e la funzione converge sicuramente nell'intervallo $]1;3[$. La funzione converge assolutamente nell'intervallo $]1;3[$.
Adesso ho due domande:
1) per la convergenza puntuale per $x=1$ e $x=3$ devo sostituire e poi studiare le due serie numeriche così ottenute. Giusto?
2) come faccio a discutere la convergenza uniforme?
Attendo con ansia le vostre risposte
Risposte
"matths87":
Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{\log(n+1)}(x-2)^n$
Per $x=1$ e $x=3$ non hai la convergenza semplicemente perché $\frac{n^2}{\log(n+1)} \rightarrow +\infty$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme la dovresti avere sugli intervalli del tipo $(a;b)$ con
$a>1$ e $b<3$.
Non credo che ci sia convergenza uniforme sull'intervallo aperto $(1;3)$.
Francesco Daddi
Sapevo che dovevo studiare i punti 1 e 3 a parte.
Con il tuo ragionamento, però, mi sembra che tu abbia escluso solo la convergenza assoluta in tali punti (hai considerato il comportamente della serie numerica in modulo). Potresti chiarirmi questo punto?
Per la convergenza uniforme, c'è un teorema che ci assicura che in $[x-r;x+r]$ la serie è uniformemente convergente per ogni 0
Con il tuo ragionamento, però, mi sembra che tu abbia escluso solo la convergenza assoluta in tali punti (hai considerato il comportamente della serie numerica in modulo). Potresti chiarirmi questo punto?
Per la convergenza uniforme, c'è un teorema che ci assicura che in $[x-r;x+r]$ la serie è uniformemente convergente per ogni 0
"matths87":
Con il tuo ragionamento, però, mi sembra che tu abbia escluso solo la convergenza assoluta in tali punti (hai considerato il comportamente della serie numerica in modulo). Potresti chiarirmi questo punto?
chiarisco (spero) io
visto che il modulo del termine generale va a $+oo$, non è soddisfatta la CN di convergenza, con o senza moduli
Azz... E' vero. Mi sa che stasera riprenderò in mano il mio vecchio e glorioso Citrini per un ripasso sistematico sulle serie numeriche. 
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