Serie di potenze
Mi si chiede di trovare R, il raggio di convergenza della seguente serie di potenze
$sum_(n=1)^infty n^n/(n!(2e)^n) \ x^n$
Ho provato a fare così
$lim_(nrarr infty)root(n)(|\ a_n|)=...root(n)(n^n/(n!(2e)^n))=n/(2e) * 1/root(n)(n!) \ $
E ora che faccio? Mi aiutate motivando i passaggi?
P.S.: Deve venire R=2
$sum_(n=1)^infty n^n/(n!(2e)^n) \ x^n$
Ho provato a fare così
$lim_(nrarr infty)root(n)(|\ a_n|)=...root(n)(n^n/(n!(2e)^n))=n/(2e) * 1/root(n)(n!) \ $
E ora che faccio? Mi aiutate motivando i passaggi?
P.S.: Deve venire R=2
Risposte
"settembre":
Mi si chiede di trovare R, il raggio di convergenza della seguente serie di potenze
$sum_(n=1)^infty n^n/(n!(2e)^n) \ x^n$
Ho provato a fare così
$lim_(nrarr infty)root(n)(|\ a_n|)=...root(n)(n^n/(n!(2e)^n))=n/(2e) * 1/root(n)(n!) \ $
Ricordando la formula di Stirling: $n!~(n^n)e^(-n)sqrt(2pin)$ per $n->+infty$
dunque:
$root(n)(|\ a_n|)=root(n)(n^n/(n!(2e)^n))~root(n)(n^n/((n^n)e^(-n)sqrt(2pin)(2e)^n))=e/(2e)root(n)(1/(sqrt(2pin)))=1/2root(n)(1/(sqrt(2pin)))->1/2$ per $n->+infty$
Quindi, essendo il raggio di convergenza l'inverso di questo numero, si ottiene che il risultato è il valore 2!
Si poteva in alternativa sostituire lo sviluppo asintotico del fattoriale anche nel tuo passaggio e si sarebbe giunti allo stesso risultato come puoi verificare da solo. (Io ho preferito farlo subito)
Altrimenti, senza scomodare Stirling, puoi provare con il criterio del rapporto.
Oppure puoi usare il teorema di D'Alembert (quello della radice è il teorema di Cauchy-Hadamard).
$lim_(n to oo) a_(n+1)/a_n=lim_(n to oo) ((n+1)^(n+1))/((n+1)!(2e)^(n+1)) (n!(2e)^n)/(n^n)=lim_(n to oo) 1/(2e) (n+1)^n/(n^n)=lim_(n to oo) ((n+1)/(n))^n 1/(2e)=lim_(n to oo)(1+1/n)^n 1/(2e)=1/2=1/R$, quindi $R=2$.
$lim_(n to oo) a_(n+1)/a_n=lim_(n to oo) ((n+1)^(n+1))/((n+1)!(2e)^(n+1)) (n!(2e)^n)/(n^n)=lim_(n to oo) 1/(2e) (n+1)^n/(n^n)=lim_(n to oo) ((n+1)/(n))^n 1/(2e)=lim_(n to oo)(1+1/n)^n 1/(2e)=1/2=1/R$, quindi $R=2$.
Ecco appunto, scusa Tipper.
E di che ti scusi? 
Grazie a tutti per aver risposto!
Dunque ho trovato la soluzione di quest'esercizio: effettivamente usa il criterio di D'Alembert ma io non l'avevo capito.
Grazie di nuovo!
Dunque ho trovato la soluzione di quest'esercizio: effettivamente usa il criterio di D'Alembert ma io non l'avevo capito.
Grazie di nuovo!
"Tipper":
Altrimenti, senza scomodare Stirling, puoi provare con il criterio del rapporto.
Avevo pensato anch'io al criterio del rapporto, ma prima di tutto chi ha aperto l'argomento l'ha fatto con quello della radice e non mi sembrava giusto "stravolgere" dal principio il suo esercizio, in secondo luogo il criterio della radice fornisce una condizione più forte rispetto al criterio del rapporto, dunque da un punto di vista teorico sarebbe sempre meglio usare il primo al secondo
chi ha aperto l'argomento l'ha fatto con quello della radice e non mi sembrava giusto "stravolgere" dal principio il suo esercizio
Ho proposto io l'esercizio. Ho tentato di risolverelo usando la formula per trovare il raggio di convergenza
$lim_(n rarr infty) root(n)(| a_n|)=L $
$R=1/L$
Ciao e grazie per il tuo aiuto!
"fabry1985mi":
[quote="Tipper"]Altrimenti, senza scomodare Stirling, puoi provare con il criterio del rapporto.
Avevo pensato anch'io al criterio del rapporto, ma prima di tutto chi ha aperto l'argomento l'ha fatto con quello della radice e non mi sembrava giusto "stravolgere" dal principio il suo esercizio, in secondo luogo il criterio della radice fornisce una condizione più forte rispetto al criterio del rapporto, dunque da un punto di vista teorico sarebbe sempre meglio usare il primo al secondo[/quote]
Ho solo dato una possibile alternativa al tuo ragionamento.
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