Serie di Potenze

[kily2001]

$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n x^n/(n+sqrt(n))$ con x in R

a me viene centro=0, raggio=-1, intervallo di convergenza ]-1,1[

ps: ho usato il criterio del rapporto:

$lim_{x->oo} ((-1)^(n+1))/(-1^n) * (n+1+sqrt(n+1))/(n+sqrt(n)) =

$= -1*lim_{x->oo} (n+1+sqrt(n+1))/(n+sqrt(n))=

$= -1*1= -1$ (il cui inverso è sempre -1)

quindi l'intervallo di convergenza è $]-1,1[$ giusto?

grazie mille

[_luca.barletta]

$r=lim_(nrarr+infty)|a_n/a_(n+1)|$...

[kily2001]

ho sbagliato a scrivere, il limite è per $n->oo$ ...

lo svolgimento è giusto o sbagliato?

[_luca.barletta]

devi considerare il valore assoluto del rapporto, quindi i $(-1)^n $ spariscono

[kily2001]

quindi viene $1$ giusto? e l'intervallo $]-1,1[$ ?

[_luca.barletta]

il raggio di convergenza 1 va bene, devi controllare se gli estemi $x=+-1$ vanno bene

[kily2001]

cioè devo vedere se le serie in $x+-1$ sono convergenti per vedere se l'intervallo-1,1 è aperto o chiuso?

[TomSawyer1]

Esattamente, in $x=\pm1$.

[kily2001]

mi potete postare lo svolgimento per questo esercizio? cioè come devo fare per trovare gli intervalli di convergenza semplice e assoluta della serie dopo aver trovato il centro e il raggio. scusate ma sto preparando analisi da autodidatta!

[TomSawyer1]

Per la convergenza assoluta, non devi piu' considerare il $(-1)^n$.
Per quanto riguarda gli estremi:
per $x=1$, hai $\sum_(n=1)^(+infty)(-1)^n/(n+sqrtn)$, e applichi il criterio di Leibniz. Per $x=-1$, $\sum_(n=1)^(+infty)(-1)^n(-1)^n/(n+sqrtn)=\sum_(n=1)^(+infty)(1)^n/(n+sqrtn)$, facilmente studiabile.