Serie di potenze

[the.track]

Ho la seguente serie:

[math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2n+1}z^{2n}[/math]

Allora ho pensato di trovare la somma di tele serie in questo modo.

[math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2n+1}z^{2n}=\\
\frac{z}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n}{2n+1}z^{2n-1}[/math]

Riconosco che:

[math]\frac{d}{dz}\( \frac{z^{2n}}{2n+1} \)=\frac{2n}{2n+1}z^{2n-1}[/math]

Adesso:

[math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{2n+1}=\frac{1}{z}\( -log(1-z) \)[/math]

Quindi:

[math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2n+1}z^{2n}=\frac{z}{2}\frac{d}{dz}\( -\frac{1}{z}log\( 1-z\) \)= \: a \: quel \: che \: e'[/math]

Il procedimento è corretto? Vale sia per

[math]z\in \mathbb{R}[/math]

che

[math]z\in \mathbb{C}[/math]

?

Inoltre relativamente a questa serie risolvendola in modo diverso ottenevamo una contraddizione (forse apparente) riguardo integrali e derivate di questo tipo.

Io prendo la funzione che mi descrive la somma della serie geometrica:

[math]f(z)=\frac{1}{1-z^2}[/math]

per la serie

[math]\sum_{n=0}^{\infty}z^{2n}[/math]

.

A questo punto dovevo derivarla con un coefficiente davanti di 1/2. derivandola ottengo:

[math]f'(z)=\frac{z}{\(1-z^2\)^2}[/math]

Dovevo integrare questa f'(x), ma quando vado ad integrare come segue esce un risultato un po' sfasato.

[math]\int \frac{z}{\(1-z^2\)^2}dz \; \Rightarrow z=sint[/math]

[math]\int \frac{sint\cdot cost}{\(1-sin^2t\)^2}dt=\\
=\int \frac{sint}{cos^3t}dt= \int \frac{tant}{cos^2t}dt\\
=\frac{1}{2}tan^2t[/math]

Con il 1/2 di prima ottengo davanti alla tangente un coefficiente pari a 1/4.

Risostituendo ottengo:

[math]\frac{z^2}{1-z^2}[/math]

funzione che effettivamente se derivo mi fa ottenere

[math]\frac{z}{(1-z^2)^2}[/math]

Ma a questo punto ho 2 primitive? Che senso ha? Ci sono errori nella sostituzione di qualche tipo?

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Il fatto principale è che:

[math]\frac{z^2}{1-z^2}\neq \frac{1}{ 1-z^2}[/math]

Sono io che do di matto?

[ciampax]

Sulla prima serie ci sono due cose che non mi tornano:
1) qual è il raggio di convergenza? Lo hai calcolato? Altrimenti non sai dove vale l'eventuale somma che riesci a trovare.
2) Non sono d'accordo sullo sviluppo che definisci (con il logaritmo). La serie di Taylor per il logaritmo è

[math]log(1+z)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}[/math]

mentre quella che trovi tu a denominatore ha solo termini dispari.


Per quanto riguarda l'integrale, osserva che

[math]\frac{z^2}{1-z^2}=\frac{z^2-1+1}{1-z^2}=-1+\frac{1}{1-z^2}[/math]

per cui quella che hai trovato è la stessa primitiva, solo con una costante arbitraria diversa (ricordi che due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante).

Aggiunto 26 minuti più tardi:

Ecco come calcolare la somma della serie: dove essa converge, poniamo

[math]f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2n+1}\ z^{2n}[/math]

Adesso osserva che

[math]\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n+1-1}{2n+1}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)[/math]

per cui

[math]f(z)=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^\infty z^{2n}-\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2n}}{2n+1}[/math]

Posto

[math]g(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2n}}{2n+1}[/math]

si ha

[math]g'(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2n}{2n+1} z^{2n-1}=\frac{2}{z} f(z)[/math]

Ricordando che

[math]\sum_{n=1}^\infty z^{2n}=\frac{1}{1-z^2}-1=\frac{z^2}{1-z^2}[/math]

segue che

[math]f(z)=\frac{1}{2}\left\frac{z^2}{1-z^2}-g(z)\right)[/math]

o anche

[math]\frac{z}{2}\ g'(z)=\frac{1}{2}\left(\frac{z^2}{1-z^2}-g(z)\right)[/math]

Ottieni quindi l'equazione differenziale lineare

[math]zg'+g=\frac{z^2}{1-z^2}[/math]

la cui soluzione è (controlla)

[math]g(z)=\frac{1}{2z}\log\left(\frac{1+z}{1-z}\right)-1[/math]

per cui si ha

[math]f(z)=\frac{z}{2} g'(z)=-\frac{1}{4z}\log\left(\frac{1+z}{1-z}\right)+\frac{1}{2(1-z^2)}[/math]

che è la somma della serie.