Serie di potenze

[gionny98]

$ sum_(n =1)^(∞)(x^(2n+1))/(5^n(n+1)) $
Mi serve un aiuto con questa serie di potenze. In particolare ho un problema con $ x^(2n+1) $ perchè non riesco ad assimilarlo ad $ (x-x_0)^n $

[anto_zoolander]

$x*sum_(k=1)^(n)1/(5^n(n+1))*(x^2)^n$

[pilloeffe]

Ciao gionni98,

La serie proposta ovviamente converge a $0 $ per $x = 0 $. Per $x \ne 0 $ si può scrivere:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(x^(2n+1))/(5^n(n+1)) = 1/x \sum_{n = 1}^{+\infty}(x^(2n+2))/(5^n(n+1)) = 5/x \sum_{n = 1}^{+\infty}((x^2)^{n + 1})/(5^{n + 1}(n+1)) = 5/x \sum_{n = 1}^{+\infty}((x^2/5)^{n + 1})/(n+1) $

L'ultima serie scritta dovresti conoscerla, perché è del tipo seguente:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) \qquad $ per $ - 1 \le y < 1 $

Quindi si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = y + \sum_{n = 2}^{+\infty} y^n/n = y + \sum_{n = 1}^{+\infty} y^{n + 1}/(n + 1) = - ln(1 - y) \qquad $ per $ - 1 \le y < 1 \implies $
$\implies \sum_{n = 1}^{+\infty} y^{n + 1}/(n + 1) = - y - ln(1 - y) \qquad $ per $ - 1 \le y < 1 $

Essendo nel caso in esame $y = x^2/5 >= 0 $, si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(x^(2n+1))/(5^n(n+1)) = 5/x \sum_{n = 1}^{+\infty}((x^2/5)^{n + 1})/(n+1) = 5/x [-x^2/5 - ln(1 - x^2/5)] = - x - 5/x ln(1 - x^2/5) $

per $x^2/5 < 1 \implies |x| < sqrt{5} $

[gionny98]

"anto_zoolander":$x*sum_(k=1)^(n)1/(5^n(n+1))*(x^2)^n$

Lasciando la x fuori poi se ad esempio applico il teorema di cauchy-hadamard dovrò calcolare x*lim della radice?