Serie di potenze
$ sum_(n=0)^(+∞) ((-1)^n3^n)/(2n+1)x^n $
Se utilizzo il teorema di Cauchy-Hadamard per cui $ lim_(x -> ∞)root(n)(|a_n|) =l $
mi esce 3 quindi $ |x|<3 $ e la serie converge assolutamente.
Ora la mia domanda è:
Nella prova d'esame ho un esercizio del genere in cui mi dice di studiare una determinata serie di potenze, ma è possibile che la risoluzione è così semplice o c'è qualcos'altro da fare?
Se utilizzo il teorema di Cauchy-Hadamard per cui $ lim_(x -> ∞)root(n)(|a_n|) =l $
mi esce 3 quindi $ |x|<3 $ e la serie converge assolutamente.
Ora la mia domanda è:
Nella prova d'esame ho un esercizio del genere in cui mi dice di studiare una determinata serie di potenze, ma è possibile che la risoluzione è così semplice o c'è qualcos'altro da fare?
Risposte
Ciao gionni98,
Beh, dipende da ciò che ti si chiede... Per esempio nel caso specifico ti si potrebbe chiedere di dimostrare che si ha:
$ \sum_{n=0}^{+\infty} ((-1)^n 3^n)/(2n+1) x^n = \frac{\arctan\sqrt{3x}}{sqrt{3x}} $
per $0 < x \le 1/3 $
Per $ x = 0 $ la serie proposta ovviamente converge a $0$, per $x = 1/3 $ converge a $\pi/4 $
"gionni98":
ma è possibile che la risoluzione è così semplice o c'è qualcos'altro da fare?
Beh, dipende da ciò che ti si chiede... Per esempio nel caso specifico ti si potrebbe chiedere di dimostrare che si ha:
$ \sum_{n=0}^{+\infty} ((-1)^n 3^n)/(2n+1) x^n = \frac{\arctan\sqrt{3x}}{sqrt{3x}} $
per $0 < x \le 1/3 $
Per $ x = 0 $ la serie proposta ovviamente converge a $0$, per $x = 1/3 $ converge a $\pi/4 $
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