Serie di potenze
Ciao a tutti, devo studiare la convergenza puntuale e totale di questa serie di potenze:
$ sum_(n=0)^(+infty) ((-1)^(n+1)(2^n))/n (x^2-1)^n $
Quel $ +1 $ dell'esponente mi turba un po', nel calcolo del raggio di convergenza cosa devo considerare?
Io farei il $ lim_(n->infty) (2^(n+1)/(n+1))^(1/n) $
$ sum_(n=0)^(+infty) ((-1)^(n+1)(2^n))/n (x^2-1)^n $
Quel $ +1 $ dell'esponente mi turba un po', nel calcolo del raggio di convergenza cosa devo considerare?
Io farei il $ lim_(n->infty) (2^(n+1)/(n+1))^(1/n) $
Risposte
Perché ci hai messo il $+1$ dappertutto?
Comunque in generale per calcolarsi il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^(+\infty)a_nx^n$ si fa calcolando $\lim_{n->+\infty}root{n}(1/|a_n|)$.
Comunque in generale per calcolarsi il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^(+\infty)a_nx^n$ si fa calcolando $\lim_{n->+\infty}root{n}(1/|a_n|)$.
Ciao floyd123,
Innanzitutto comincerei con l'osservare che la serie proposta non può partire da $n = 0 $ perché altrimenti si annullerebbe il denominatore della frazione. Si assumerà pertanto che la serie proposta sia la seguente:
$ sum_(n=1)^(+infty) ((-1)^(n+1)(2^n))/n (x^2-1)^n = - sum_(n=1)^(+infty) ((-1)^n (2^n))/n (x^2-1)^n = - sum_(n=1)^(+infty) ((-2)^n)/n (x^2-1)^n = $
$ = - sum_(n=1)^(+infty) ((2 - 2x^2)^n)/n = ln(1 - 2 + 2x^2) = ln(2x^2 - 1) $
naturalmente per $ - 1 \le 2 - 2x^2 < 1 \iff - sqrt{3/2} \le x < -sqrt{2}/2 \vv sqrt{2}/2 < x \le sqrt{3/2} $
Innanzitutto comincerei con l'osservare che la serie proposta non può partire da $n = 0 $ perché altrimenti si annullerebbe il denominatore della frazione. Si assumerà pertanto che la serie proposta sia la seguente:
$ sum_(n=1)^(+infty) ((-1)^(n+1)(2^n))/n (x^2-1)^n = - sum_(n=1)^(+infty) ((-1)^n (2^n))/n (x^2-1)^n = - sum_(n=1)^(+infty) ((-2)^n)/n (x^2-1)^n = $
$ = - sum_(n=1)^(+infty) ((2 - 2x^2)^n)/n = ln(1 - 2 + 2x^2) = ln(2x^2 - 1) $
naturalmente per $ - 1 \le 2 - 2x^2 < 1 \iff - sqrt{3/2} \le x < -sqrt{2}/2 \vv sqrt{2}/2 < x \le sqrt{3/2} $
"otta96":
Perché ci hai messo il $+1$ dappertutto?
Comunque in generale per calcolarsi il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^(+\infty)a_nx^n$ si fa calcolando $\lim_{n->+\infty}root{n}(1/|a_n|)$.
Avevo saltato un passaggio, che era quello che consisteva nel portare l'indice della serie da $ 0 $ a $ 1 $, grazie comunque per la risposta
"pilloeffe":
Ciao floyd123,
Innanzitutto comincerei con l'osservare che la serie proposta non può partire da $n = 0 $ perché altrimenti si annullerebbe il denominatore della frazione. Si assumerà pertanto che la serie proposta sia la seguente:
$ sum_(n=1)^(+infty) ((-1)^(n+1)(2^n))/n (x^2-1)^n = - sum_(n=1)^(+infty) ((-1)^n (2^n))/n (x^2-1)^n = - sum_(n=1)^(+infty) ((-2)^n)/n (x^2-1)^n = $
$ = - sum_(n=1)^(+infty) ((2 - 2x^2)^n)/n = ln(1 - 2 + 2x^2) = ln(2x^2 - 1) $
naturalmente per $ - 1 \le 2 - 2x^2 < 1 \iff - sqrt{3/2} \le x < -sqrt{2}/2 \vv sqrt{2}/2 < x \le sqrt{3/2} $
Grazie mille pilloeffe, gentilissimo come sempre
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