Serie di potenze
Qualcuno potrebbe aiutarmi con questa serie per favore? dovrei studiare la convergenza
$sum_(n=1)^(infty)(sen^2x)^n/sqrt(n)*log(1+1/sqrt(n))$
Avevo pensato di sostituire $(sen^2x)$ con una nuova variabile, tipo $t$, in modo da studiarla come serie di potenze. Però non ho ben capito come operare con le serie quando ci sono i logaritmi...
$sum_(n=1)^(infty)(sen^2x)^n/sqrt(n)*log(1+1/sqrt(n))$
Avevo pensato di sostituire $(sen^2x)$ con una nuova variabile, tipo $t$, in modo da studiarla come serie di potenze. Però non ho ben capito come operare con le serie quando ci sono i logaritmi...
Risposte
Ciao Caronte,
Simpatica... Facendo uso del criterio del rapporto si può trovare facilmente che la serie converge per $|t| < 1$; ricordando la posizione che tu stesso hai pensato e che poi TeM ha esplicitato, $t = sin^2 x$, si ha che la serie originaria è convergente se $|sin^2 x| < 1$, che non è un gran vincolo, perché già di suo $0 \le sin^2 x \le 1$ (quindi anche il modulo si può togliere in quanto inutile). Dunque, fatta eccezione per i valori, passami il termine poco matematico, "sfigati" dell'angolo $x$ come $\pi/2 + k\pi$, $k\in \ZZ$ nei quali $sin^2 x = 1$, la serie è convergente.
Simpatica... Facendo uso del criterio del rapporto si può trovare facilmente che la serie converge per $|t| < 1$; ricordando la posizione che tu stesso hai pensato e che poi TeM ha esplicitato, $t = sin^2 x$, si ha che la serie originaria è convergente se $|sin^2 x| < 1$, che non è un gran vincolo, perché già di suo $0 \le sin^2 x \le 1$ (quindi anche il modulo si può togliere in quanto inutile). Dunque, fatta eccezione per i valori, passami il termine poco matematico, "sfigati" dell'angolo $x$ come $\pi/2 + k\pi$, $k\in \ZZ$ nei quali $sin^2 x = 1$, la serie è convergente.
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