Serie di potenze
Salve a tutti da un paio di settimane ho cominciato a studiare analisi 2, il primo argomento sono serie di funzioni e di potenze, fin tanto che faccio gli esercizi proposti dai libri e quelli fatti in aula tutto ok, però poi guardando quelli dei compiti di esame mi accorgo che sono di una tipologia diversa.. Mi potreste dare una mano a capire come svolgerlo?
$sum_(n=0)^(infty)log(n+1)/(n+1)^2*x^n$
devo studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Negli esercizi che ho svolto prima essendo una serie di potenze, con i criteri del rapporto o della radice mi trovavo il raggio di convergenza e da lì l'intervallo.. Qui come posso operare?
Grazie a tutti voi!
$sum_(n=0)^(infty)log(n+1)/(n+1)^2*x^n$
devo studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Negli esercizi che ho svolto prima essendo una serie di potenze, con i criteri del rapporto o della radice mi trovavo il raggio di convergenza e da lì l'intervallo.. Qui come posso operare?
Grazie a tutti voi!
Risposte
Pure questa è una serie di potenze.
Qualche dritta su come operare?
"Caronte":
Negli esercizi che ho svolto prima essendo una serie di potenze, con i criteri del rapporto o della radice mi trovavo il raggio di convergenza e da lì l'intervallo
Fallo ancora, no?
"Ernesto01":
Fallo ancora, no?
Se applico il criterio del rapporto, ottengo:
$lim_(n to infty) [(log(n+2)*(n+1)^2)/((n+2)^2*log(n+1))]=1$
e quindi il criterio fallisce.
Suggerimenti?
Il tuo calcolo è giusto, e quindi hai che il raggio di convergenza è il reciproco di quel limite che hai appena calcolato, cioè $R=1$. Sicuramente la tua serie di potenze converge in $(-1.1)$, nei punti $x=1$ e $x=-1$ devi verificare la serie "manualmente", potrebbe sia convergere che non in quei punti.
Quello che dici tu, riguardo al "fallire", ha senso solo quando parli di serie numeriche e non di serie di potenze.
In realtà potresti considerare una serie di potenze come una serie numerica come hai fatto tu (volendoti complicare la vita) ma in quel caso avresti dovuto prendere $a_n=x^n * log(n+1)/(n+1)^2$ e poi imponendo il criterio della radice $<1$
Vedrai che otterrai lo stesso risultato
Quello che dici tu, riguardo al "fallire", ha senso solo quando parli di serie numeriche e non di serie di potenze.
In realtà potresti considerare una serie di potenze come una serie numerica come hai fatto tu (volendoti complicare la vita) ma in quel caso avresti dovuto prendere $a_n=x^n * log(n+1)/(n+1)^2$ e poi imponendo il criterio della radice $<1$
Vedrai che otterrai lo stesso risultato
"Ernesto01":
Quello che dici tu, riguardo al "fallire", ha senso solo quando parli di serie numeriche e non di serie di potenze.
Giusto!! Non so perchè mi ero fossilizzato su questa cosa che falliva il criterio del rapporto. Adesso controllando gli estremi ho visto che per $x=-1$ la serie converge per il criterio di Liebnitz mentre se metto $x=1$ ritorno al mio dubbio iniziale: i criteri del rapporto e della radice falliscono (questa volta è una serie numerica) e non mi viene in mente con cosa posso confrontarla, ho pensato al criterio degli infinitesimi ma anche questo non va in porto.. idee da consigliarmi?
p.s. la condizione necessaria per la convergenza della serie è soddisfatta.
Se usi il criterio del confronto asintotico con $b_n=1/x^(3/2)$ ottieni la convergenza
Non ti seguo .. Se applico il criterio del confronto asintotico ottengo:
$lim_(n to infty) log(n+1)/(n+1)^2*n^(3/2)= ??$
C'è qualche semplificazione che non vedo?
$lim_(n to infty) log(n+1)/(n+1)^2*n^(3/2)= ??$
C'è qualche semplificazione che non vedo?
$lim _(n->oo) log(n+1)/(n+1)^2 * n^(3/2)= lim _(n->oo) log(n+1)/n^2 * n^(3/2)=lim _(n->oo) log(n+1)/sqrt(n)=0$
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