Serie di potenze
Buongiorno a tutti, ho provato a svolgere questo esercizio ma non capisco una parte del finale.
Determinare il raggio di convergenza delle serie e stabilire per quali $α$ la funzione somma è definita e continua in
$[−R,R]$ .
$ sum_(k = 1)^(infty) sin((2k)/(k^2+1))x^k $
Ho studiato il raggio di convergenza $R=1$, e poi ho studiato il comportamento della serie per $x=1$ e $x=-1$.
In $x=1$ diverge, mentre per $x=-1$ dovrebbe convergere ma non ho capito perchè alla fine mi dice che la somma è definita su $[-1,r]$ con $r<1$.
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie a tutti
Determinare il raggio di convergenza delle serie e stabilire per quali $α$ la funzione somma è definita e continua in
$[−R,R]$ .
$ sum_(k = 1)^(infty) sin((2k)/(k^2+1))x^k $
Ho studiato il raggio di convergenza $R=1$, e poi ho studiato il comportamento della serie per $x=1$ e $x=-1$.
In $x=1$ diverge, mentre per $x=-1$ dovrebbe convergere ma non ho capito perchè alla fine mi dice che la somma è definita su $[-1,r]$ con $r<1$.
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie a tutti
Risposte
se per x=1 convergesse la somma sarebbe definita in [-1,1], ma dato che per x=1 non converge allora il termine x=1 è escluso e la somma è definita in $[-1,1[$, il che è equivalente a dire $[-1,r]$ con $r<1$
"Vulplasir":
se per x=1 convergesse la somma sarebbe definita in [-1,1], ma dato che per x=1 non converge allora il termine x=1 è escluso e la somma è definita in $[-1,1[$, il che è equivalente a dire $[-1,r]$ con $r<1$
Ah tutto qua? Pensavo a chissà cosa. Un'altra cosa se riesci. Per $x=-1$ converge usando il criterio di Leibniz. Non riesco a capire come verificare se la serie è decrescente. Usare le derivate o porre $ a_n >= a_n+1$ è la stessa cosa?
Poi ti volevo chiedere anche una cosa su questa seire. Con il criterio del rapporto e della radice non posso. Sai darmi qualche suggerimento?
$ sum_(k=0)^oo 1/(k^(alpha)+k^(-alpha)) $
Cosa intendi per derivate? una serie non si può derivare, se riesci a dimostrare che $a_n>=a_(n+1)$ hai praticamente dimostrato che è descrescente
Immagino che con "utilizzare le derivate" intenda verificare, tramite uso delle derivate, la crescenza o decrescenza della funzione associata $f(x) = sin(\frac{2x}{x^2+1})$. Infatti se questa funzione fosse decrescente, lo sarebbe anche la successione $f(n)$ (ma non vale viceversa, quindi questo è solo un criterio sufficiente).
A questo proposito comunque, basta osservare che in $[1,+\infty)$ la funzione $\frac{2x}{x^2+1}$ è decrescente ed è a valori in $(0,1]$ (perché?) e in questo intervallo il seno è crescente. Ne segue che la composizione è decrescente.
Per quanto riguarda l'ultima domanda osserva che il termine generico della serie è a termini positivi ed è asintotico a $\frac{1}{k^{|\alpha|}$. Perché? Cosa puoi concludere da questo?
A questo proposito comunque, basta osservare che in $[1,+\infty)$ la funzione $\frac{2x}{x^2+1}$ è decrescente ed è a valori in $(0,1]$ (perché?) e in questo intervallo il seno è crescente. Ne segue che la composizione è decrescente.
Per quanto riguarda l'ultima domanda osserva che il termine generico della serie è a termini positivi ed è asintotico a $\frac{1}{k^{|\alpha|}$. Perché? Cosa puoi concludere da questo?
"Antimius":
Immagino che con "utilizzare le derivate" intenda verificare, tramite uso delle derivate, la crescenza o decrescenza della funzione associata $f(x) = sin(\frac{2x}{x^2+1})$. Infatti se questa funzione fosse decrescente, lo sarebbe anche la successione $f(n)$ (ma non vale viceversa, quindi questo è solo un criterio sufficiente).
A questo proposito comunque, basta osservare che in $[1,+\infty)$ la funzione $\frac{2x}{x^2+1}$ è decrescente ed è a valori in $(0,1]$ (perché?) e in questo intervallo il seno è crescente. Ne segue che la composizione è decrescente.
Per quanto riguarda l'ultima domanda osserva che il termine generico della serie è a termini positivi ed è asintotico a $\frac{1}{k^{|\alpha|}$. Perché? Cosa puoi concludere da questo?
Nella risoluzione del primo esercizio il prof per verificare la decrescenza dice che $ sin(\frac{2x}{x^2+1})$ è asintotico a $\frac{2x}{x^2+1}$ e poi studia la derivata prima $>=0$. Va bene?
Per il secondo esercizio mi verrebbe da dire che $1/k^alpha$ è una serie armonica e converge per $|alpha|>1$. Ma non ho capito come fai a dire che $1/(k^alpha+k^(-alpha))$ è asintotico a $\frac{1}{k^{|\alpha|}$
"Vulplasir":
Cosa intendi per derivate? una serie non si può derivare, se riesci a dimostrare che $a_n>=a_(n+1)$ hai praticamente dimostrato che è descrescente
intendo studiare la decrescenza con la derivata. Per applicare il criterio di Leibniz
Per la prima domanda: la funzione $g(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ è definitivamente $leq 1$ e, poiché il seno è una funzione crescente in $[0, \frac{\pi}{2}]$, studiare la monotonia di $sin(g(x))$ da un certo punto in poi (che è quello che ti interessa per studiare il carattere della serie) equivale a studiare la monotonia di $g(x)$.
[size=85]Utilizzare il fatto che siano asintoticamente equivalenti non sono convinto che sia sufficiente, ma devo pensarci, perché potrei sbagliarmi.[/size]
Per la seconda domanda: osserva che $f(k)= \frac{1}{k^{|\alpha|}+k^{-|\alpha|}$ per $\alpha > 0$ e $f(k)= \frac{1}{k^{-|\alpha|}+k^{|\alpha|}$ per $\alpha < 0$. Ma allora
\(\displaystyle f(k) = \frac{1}{k^{|\alpha|}} \frac{1}{1+k^{-2|\alpha|}} \sim \frac{1}{k^{|\alpha|}} \)
Per il resto, la tua deduzione è corretta
[size=85]Utilizzare il fatto che siano asintoticamente equivalenti non sono convinto che sia sufficiente, ma devo pensarci, perché potrei sbagliarmi.[/size]
Per la seconda domanda: osserva che $f(k)= \frac{1}{k^{|\alpha|}+k^{-|\alpha|}$ per $\alpha > 0$ e $f(k)= \frac{1}{k^{-|\alpha|}+k^{|\alpha|}$ per $\alpha < 0$. Ma allora
\(\displaystyle f(k) = \frac{1}{k^{|\alpha|}} \frac{1}{1+k^{-2|\alpha|}} \sim \frac{1}{k^{|\alpha|}} \)
Per il resto, la tua deduzione è corretta
"Antimius":
Per la prima domanda: la funzione $g(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ è definitivamente $leq 1$ e, poiché il seno è una funzione crescente in $[0, \frac{\pi}{2}]$, studiare la monotonia di $sin(g(x))$ da un certo punto in poi (che è quello che ti interessa per studiare il carattere della serie) equivale a studiare la monotonia di $g(x)$.
[size=85]Utilizzare il fatto che siano asintoticamente equivalenti non sono convinto che sia sufficiente, ma devo pensarci, perché potrei sbagliarmi.[/size]
Per la seconda domanda: osserva che $f(k)= \frac{1}{k^{|\alpha|}+k^{-|\alpha|}$ per $\alpha > 0$ e $f(k)= \frac{1}{k^{-|\alpha|}+k^{|\alpha|}$ per $\alpha < 0$. Ma allora
\(\displaystyle f(k) = \frac{1}{k^{|\alpha|}} \frac{1}{1+k^{-2|\alpha|}} \sim \frac{1}{k^{|\alpha|}} \)
Per il resto, la tua deduzione è corretta
Ti ringrazio, direi di aver capito
Figurati
Comunque, ripensando al mio dubbio, non è sufficiente dire che le due funzioni sono asintoticamente equivalenti. Infatti, ad esempio, $f(x) = \frac{x}{2} + sin x$ è asintoticamente equivalente a $\frac{x}{2}$, ma quest'ultima è sempre crescente, mentre la prima non è crescente (nemmeno definitivamente). Infatti è decrescente in tutti gli intervalli $[\frac{2}{3}\pi + 2k\pi, \frac{4}{3}\pi + 2k\pi]$ per $k \in \mathbb{Z}$.
Comunque, ripensando al mio dubbio, non è sufficiente dire che le due funzioni sono asintoticamente equivalenti. Infatti, ad esempio, $f(x) = \frac{x}{2} + sin x$ è asintoticamente equivalente a $\frac{x}{2}$, ma quest'ultima è sempre crescente, mentre la prima non è crescente (nemmeno definitivamente). Infatti è decrescente in tutti gli intervalli $[\frac{2}{3}\pi + 2k\pi, \frac{4}{3}\pi + 2k\pi]$ per $k \in \mathbb{Z}$.
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