Serie di potenze

[mentemate]

Salve a tutti, vorrei sapere come si dovrebbe svolgere la seguente serie di potenze:

$\sum_{n=1}^\infty ((n^2+2)/n^2)^(n^2)x^n$

Io avevo pensato di usare il criterio della radice, quindi mettendo tutto sotto radice di $\n^2$, verrebbe $\lim_{n \to \infty}(n^2+2)/n^2=1$. In conclusione dovrebbe uscire il raggio uguale a $1$ e la serie convergerebbe assolutamente per $x in ]-1;1[$.

Grazie mille!

[cooper1]

Il criterio della radice è con n non n^2.. Una volta calcolato il limite l'insieme è (-R,R). E poi devi valutare separatamente gli estremi

[Fausto11]

Prima di fare la radice, riscrivi il termine tra parentesi come $ (1+2/n^2)^(n^2) = (1+1/z)^(z*2) $ mettendo $ z = (n^2)/2 $ . Ora puoi applicare il metodo della radice, ricordando che quello appena scritto è un limite notevole e tende a $ e^2 $. Il raggio di convergenza viene come hai detto tu. Poi ricordati che devi studiare a parte i casi x=1 e x=-1