Serie di potenze
Ciao ragazzi, pleeeease, aiutatemi a svolgere questo esercizio.
Stabilire se la serie converge.
$\sum_{n=0}^(+infty) (((n!))/4^n)x^n$
Ok, è una serie di potenze, ma che ragionamenti faccio a proposito prima di cominciare a fare qualsiasi passaggio??
Penso che si debba calcolare il raggio di convergenza, per cui
$lim_(n->(+infty)) (((n+1)!)/(4^(n+1)))/((n!)/(4^n))$
che è uguale a infinito
Per cui essendo il raggio di convergenza, pari a $R=1/l$ $->$ $1/(+infty)=0$
OK, non so se questa prima parte di ragionamento è corretta e comunque non so come proseguire.
Grazie a tutti quelli che vorranno aiutarmi a capirci qualcosa
Stabilire se la serie converge.
$\sum_{n=0}^(+infty) (((n!))/4^n)x^n$
Ok, è una serie di potenze, ma che ragionamenti faccio a proposito prima di cominciare a fare qualsiasi passaggio??
Penso che si debba calcolare il raggio di convergenza, per cui
$lim_(n->(+infty)) (((n+1)!)/(4^(n+1)))/((n!)/(4^n))$
che è uguale a infinito
Per cui essendo il raggio di convergenza, pari a $R=1/l$ $->$ $1/(+infty)=0$
OK, non so se questa prima parte di ragionamento è corretta e comunque non so come proseguire.
Grazie a tutti quelli che vorranno aiutarmi a capirci qualcosa
Risposte
Prima di buttarti sul raggio di convergenza considera la serie un po' più alla larga. La primissima condizione da verificare per avere convergenza puntuale è $ lim_(n->+infty) (n!)/4^n x^n = 0$ per $x in RR$ fissato.
Mi sembra evidente che quel limite vada a $+infty$ per tutti i valori di x, escluso lo 0. Se non lo vedi ad occhio considera che $n! = n*(n-1)*(n-2)*...*1 ~ n^n text( per ) n-> +infty$.
Ciò detto, dato che per $x=0$ la successione è identicamente nulla, concludi che la serie può convergere solo per x=0.
Il che è esattamente quanto concludi dall'avere raggio di convergenza nullo.
Mi sembra evidente che quel limite vada a $+infty$ per tutti i valori di x, escluso lo 0. Se non lo vedi ad occhio considera che $n! = n*(n-1)*(n-2)*...*1 ~ n^n text( per ) n-> +infty$.
Ciò detto, dato che per $x=0$ la successione è identicamente nulla, concludi che la serie può convergere solo per x=0.
Il che è esattamente quanto concludi dall'avere raggio di convergenza nullo.
Innanzitutto grazie per avermi risposto
Abbi pazienza, ma ho un po' di dubbi e buchi nello studio delle serie di potenze, per via del fatto che gli appunti che ho preso a lezione su questo argomento sono molto frastagliati.
Allora, ricapitolando..
Innanzitutto perché la prima condizione da verificare per avere convergenza è quella?
Ok quel limite va a più infinito per tutti escluso lo zero,
Ok il raggio di convergenza è 0
In che modo concludi che la serie converge solo per X=0?
Grazie infinite
Abbi pazienza, ma ho un po' di dubbi e buchi nello studio delle serie di potenze, per via del fatto che gli appunti che ho preso a lezione su questo argomento sono molto frastagliati.
Allora, ricapitolando..
Innanzitutto perché la prima condizione da verificare per avere convergenza è quella?
Ok quel limite va a più infinito per tutti escluso lo zero,
Ok il raggio di convergenza è 0
In che modo concludi che la serie converge solo per X=0?
Grazie infinite
la prima è quella per la condizione necessaria per la convergenza.
dato che il raggio è nullo è come se dicessi che converge in insiemi del tipo: $[-0,0]$ ovvero zero. (converge cioè solo nel centro)
dato che il raggio è nullo è come se dicessi che converge in insiemi del tipo: $[-0,0]$ ovvero zero. (converge cioè solo nel centro)
Ok, ma la condizione necessaria per la convergenza di una serie è una condizione necessaria, per ciò se il limite di $a_n$ è uguale a zero, come in questo caso, non posso dire nulla sul carattere della serie
non solo di $a_n$ ma di tutto il termine generale.. ad ogni modo esatto ciò che hai detto.
se stai invece riferendoti al limite che hai calcolato (crietrio del rapporto per stabilire il raggio) allora se fa 0 significa che la tua serie converge su tutto l'asse dei reali ($1/L=+oo$)
se stai invece riferendoti al limite che hai calcolato (crietrio del rapporto per stabilire il raggio) allora se fa 0 significa che la tua serie converge su tutto l'asse dei reali ($1/L=+oo$)
Allora.. Un attimo.. Prima domanda, ma il termine generale è solo $(n!)/(4^n)$, giusto?
Ok, il limite è diverso da zero, quindi non posso dire nulla sul carattere della serie.
Il secondo passo ora qual'è? Sfruttare un criterio tra Hadaward e D'Alamber per determinare il raggio di convergenza?
Dammi un po' di chiare certezze per favore
Ok, il limite è diverso da zero, quindi non posso dire nulla sul carattere della serie.
Il secondo passo ora qual'è? Sfruttare un criterio tra Hadaward e D'Alamber per determinare il raggio di convergenza?
Dammi un po' di chiare certezze per favore
"τau":
Allora.. Un attimo.. Prima domanda, ma il termine generale è solo $(n!)/(4^n)$, giusto?
No, il termine generale è tutto quello che è dopo il simbolo di sommatoria, ovvero $ (((n!))/4^n)x^n $. Non stiamo parlando di serie di potenze, ma solo di serie, per ora. In effetti, come to ho mostrato prima, non serve neanche chiamare in causa i criteri per le serie di potenze, comunque lo faccio per farti capire.
"τau":
Ok, il limite è diverso da zero, quindi non posso dire nulla sul carattere della serie.
Esatto, è una condizione necessaria ma non sufficiente affinchè ci sia la convergenza, quindi se non è verificata è sufficiente a dire che non c'è convergenza, ed è quanto ho fatto qui:
"IlPolloDiGödel":
Mi sembra evidente che quel limite vada a +∞ per tutti i valori di x, escluso lo 0.
"τau":
Il secondo passo ora qual'è? Sfruttare un criterio tra Hadaward e D'Alamber per determinare il raggio di convergenza?
Non è che ci sia proprio un secondo passo. I criteri valgono tutti, sta a te scegliere quello/i che ti portano alla conclusione. In questo caso, se non ti viene in mente di usare la condizione necessaria che ho scritto io, calcoli subito il raggio di convergenza, ti verrà zero, allora concludi con quello che ha detto cooper
"cooper":
dato che il raggio è nullo è come se dicessi che converge in insiemi del tipo: [−0,0] ovvero zero. (converge cioè solo nel centro)
entrambe le strade sono buone. La mia era un minimerrimo più creativa, se vuoi, ma finchè si tratta di esercizietti tanto per non ha importanza
Davvero grazie a entrambi, abbiate pietà di me vediamo se mi è tutto un po' più chiaro
...1) Ok, è una serie di potenze, se è la prima cosa che mi viene in mente posso sfruttare il criterio di Hadamard, per cui
$lim_(n->(+infty)) (((n+1)!)/(4^(n+1)))/((n!)/(4^n))$ $= +infty$ per cui il il raggio $R=0$
Questo significa che converge solo nel centro di convergenza, quindi l'insieme di convergenza è $I=0$
Ok tutto chiaro
...2) Se invece sono più astuto e sfrutto la condizione necessaria per la convergenza, effettuando il limite ottengo che è nullo, per cui non posso dir nulla sul carattere della serie. Perché allora tu mi scrivi che "se non è verificata la condizione è sufficiente a dire che non c'è convergenza" se abbiamo appena detto che non posso dir nulla sul carattere della serie.
Inoltre tu concludi l'esercizio dicendo che non c'è convergenza, ma abbiamo dimostrato al punto 1) con il criterio di Hadamard che la serie converge nel centro di convergenza. Deduco che quindi se la serie converge nel centro di convergenza, essendo l'insieme di convergenza $I=0$, vuol dire che non c'è convergenza?
vediamo se mi è tutto un po' più chiaro ...1) Ok, è una serie di potenze, se è la prima cosa che mi viene in mente posso sfruttare il criterio di Hadamard, per cui
$lim_(n->(+infty)) (((n+1)!)/(4^(n+1)))/((n!)/(4^n))$ $= +infty$ per cui il il raggio $R=0$
Questo significa che converge solo nel centro di convergenza, quindi l'insieme di convergenza è $I=0$
Ok tutto chiaro
...2) Se invece sono più astuto
e sfrutto la condizione necessaria per la convergenza, effettuando il limite ottengo che è nullo, per cui non posso dir nulla sul carattere della serie. Perché allora tu mi scrivi che "se non è verificata la condizione è sufficiente a dire che non c'è convergenza" se abbiamo appena detto che non posso dir nulla sul carattere della serie.Inoltre tu concludi l'esercizio dicendo che non c'è convergenza, ma abbiamo dimostrato al punto 1) con il criterio di Hadamard che la serie converge nel centro di convergenza. Deduco che quindi se la serie converge nel centro di convergenza, essendo l'insieme di convergenza $I=0$, vuol dire che non c'è convergenza?
i soldoni la condizione dice: se la serie converge, allora il termine generale è infinitesimo. ciò che non vale è: "se il termine generale è infinitesimo allora la serie converge". puoi usarla al negativo perchè se il termine non è infinitesimo continuando a sommare quel termine all'infinito non otterrai mai un valore finito (prova a vederla così).
attenzione a non commettere un errore banale: le serie di potenze convergono SEMPRE (almeno nel centro). quindi dicendo che I=0 affermi che la serie CONVERGE ma solo nel centro, non ci sono altri valori per cui la serie converge.
attenzione a non commettere un errore banale: le serie di potenze convergono SEMPRE (almeno nel centro). quindi dicendo che I=0 affermi che la serie CONVERGE ma solo nel centro, non ci sono altri valori per cui la serie converge.
Grazie cooper e scusa se ti rispondo solo ora ma ho avuto molto da fare..
Ok, mi è chiaro il discorso con Hadamard, la serie converge solo nel centro.
Quello che non capisco ancora è l'applicazione della condizione necessaria per la convergenza a questo caso.
Il teorema lo conosco, d'accordo su tutto questo:
Ma noi abbiamo calcolato il limite del termine generale e questo è infinitesimo.. mi sembra logico che non posso dire nulla sul carattere della serie. Perchè voi asserite che la conseguenza di questo è che la serie converge??
Ok, mi è chiaro il discorso con Hadamard, la serie converge solo nel centro.
Quello che non capisco ancora è l'applicazione della condizione necessaria per la convergenza a questo caso.
Il teorema lo conosco, d'accordo su tutto questo:
"cooper":
i soldoni la condizione dice: se la serie converge, allora il termine generale è infinitesimo. ciò che non vale è: "se il termine generale è infinitesimo allora la serie converge". puoi usarla al negativo perchè se il termine non è infinitesimo continuando a sommare quel termine all'infinito non otterrai mai un valore finito (prova a vederla così).
Ma noi abbiamo calcolato il limite del termine generale e questo è infinitesimo.. mi sembra logico che non posso dire nulla sul carattere della serie. Perchè voi asserite che la conseguenza di questo è che la serie converge??
non stiamo asserendo quello o meglio non lo asseriamo in generale (qui si può e adesso ti spiego perchè). in generale (per qualunque serie) se il termine generale è infinitesimo allora la serie PUÒ convergere solo in quegli intervalli, mentre se il termine generale non è infinitesimo allora la serie sicuramente non convergerà. per capire se quel "può" di di poco fa possa diventare un "converge" allora devi utilizzare uno dei criteri usuali per stabilirlo (confronto, confronto asintotico, ecc).
in questo caso particolare di serie di potenze hai invece verificato che la serie può convergere solo se $x=0$. dalla teoria delle potenze (nel nostro caso di centro 0), sappiamo che una serie di potenze converge sempre, come minimo nel centro. se quindi deve sempre convergere e hai trovato un unico valore allora la serie converge solo in quel punto.
in questo caso particolare di serie di potenze hai invece verificato che la serie può convergere solo se $x=0$. dalla teoria delle potenze (nel nostro caso di centro 0), sappiamo che una serie di potenze converge sempre, come minimo nel centro. se quindi deve sempre convergere e hai trovato un unico valore allora la serie converge solo in quel punto.
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