Serie di potenze

[Frasandro]

Buongiorno ,

Dopo aver calcolato il raggio di convergenza, che mi risulta $r=1$, della seguente serie di potenze

$ sum_(n =1 )^oo (4^n n!)/n^n x^n $. Mi sono bloccato nel calcolare i limiti per $ x=+- 1 $

$ x=-1 $ : $ sum_(n =1 )^oo (4^n n!)/n^n (-1)^n $, da qui non riesco a venirne fuori... quanto fa questo limite?

grazie

[Berationalgetreal]

Il raggio di convergenza non è $1$! Prova di nuovo. Ti consiglio di usare l'approssimazione di Stirling.

[Frasandro]

come al solito mi dimentico sempre qualcosa....ho rifatto i calcoli, ho utilizzato il criterio del rapporto per calcolare il raggio di convergenza, ottenendo $ 4lim_(n -> oo ) (1+(-1)/(n+1))^((n+1)n/(n+1))=4/e^(n/(n+1))=4/e $ quindi $r=e/4$

"Berationalgetreal":Il raggio di convergenza non è $ 1 $! Prova di nuovo. Ti consiglio di usare l'approssimazione di Stirling.

Non ho usato l'approssimazione di Stirling perche' non la conosco

[Berationalgetreal]

viewtopic.php?f=36&t=157668 ultimo messaggio.

Adesso il raggio è giusto

[Frasandro]

"Berationalgetreal":https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=157668 ultimo messaggio.

Adesso il raggio è giusto

!!

In questo caso mi serviva solo il raggio, ma in $x= +-r $ eventualmente,quali sarebbero i valori?

[Berationalgetreal]

Prova a sostituire e vedi cosa accade

[Alegomind]

L'approssimazione di Stirling è la seguente:
\[\lim_{n \to +\infty }\frac{\sqrt{2\pi n}\left ( \frac{n}{e} \right )^n}{n!}=1\]

Dunque quando hai limiti in cui l'incognita tende ad un valore infinito puoi sostituire ad n! l'espressione:
\[\sqrt{2\pi n}\left ( \frac{n}{e} \right )^n\]