Serie di potenze

[Fabryak95]

Buonasera ragazzi,sto studiando le serie di potenze però non ho ben capito una cosa:

Allora io so che se il $lim_(n) |a_(n+1)|/|a_n|=0$ allora la serie converge $AAx$ $in$ $RR$

mentre se il limite risulta $+infty$ allora la serie converge per $x=0$.

Io non ben capito il caso in cui il risultato del limite è compreso tra $(0,+infty)$.

Per esempio in questa serie $\sum_{n=0}^(+infty) (n+1)/2^n*x^n$ il limite risulta $1/2$ però non so come procedere.

Grazie in anticipo.

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Devi calcolare il raggio $R$ di convergenza della serie, che coincide con il reciproco del limite che hai calcolato.

Nel caso del tuo ultimo esempio (non ho controllato l'esattezza dei conti), dovresti avere $R=2$, per cui la serie dovrebbe convergere per $x in (-2,2)$.

Saluti.

[Fabryak95]

una volta calcolato il raggio di convergenza che è $2$ come si fa a dire che la serie converge $AAx$ $in$ $(-2,2)$ ?

[Sk_Anonymous]

La regola è questa: se $R$ è il raggio di convergenza della serie di potenze (riferita all'origine), l'intervallo di variabilità di $x$ per avere sicura convergenza è dato da $(-R,R)$; in pratica si richiede che $|x|
Per $|x|>R$ la serie diverge, mentre per $|x|=R$ (cioè per $x=pmR$) non si può dire nulla, in generale.

Se la serie di potenze fosse riferita ad un punto $x_0$ non coincidente con l'origine, cioè se si avesse

$ \sum_{n=0}^(+infty) a_n*(x-x_0)^n $

allora la condizione di convergenza sarebbe data da $|x-x_0|
Saluti.

[Fabryak95]

Per dire $|x|

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[Sk_Anonymous]

Nel tuo esempio, avendo $R=2$, per la (sicura) convergenza della serie (riferita all'origine, quindi con $x_0=0$) richiederai che $|x|<2$, cioè che $x in (-2,2)$.

Saluti.

[Fabryak95]

Perfetto,grazie.

Saluti.

[Sk_Anonymous]

Lieto di essere stato utile.

Saluti.