Serie di potenze
Ho questa serie di cui dovrei calcolare il raggio e l'insieme di convergenza:
$ sum _(n = 1)^(oo) (n/(2n+1))^(2n-1)x^n $
Applicando il criterio della radice ottengo:
$ lim _(n->+oo) (n/(2n+1))^(2n-1) = ... = 1/4 $
Da cui $ R=4 $. La serie converge quindi per $ |x|<4 $
A questo punto verifico se anche agli estremi converge.
Per x=4 mi accorgo che il criterio di necessaria convergenza non è verificato perchè $ lim _(n->oo) a_n != 0 $ e quindi diverge.
Per $ x=-4 $ ottengo:
$ sum _(n = 1)^(oo) (-1)^n 4^n (n/(2n+1))^(2n-1) $
Ma non riesco a capire se converge o diverge... In valore assoluto diverge perchè si riconduce alla precedente e chiaramente non posso applicare Leibniz poichè il termine generale non tende a 0 (come sopra). Che fare?
$ sum _(n = 1)^(oo) (n/(2n+1))^(2n-1)x^n $
Applicando il criterio della radice ottengo:
$ lim _(n->+oo) (n/(2n+1))^(2n-1) = ... = 1/4 $
Da cui $ R=4 $. La serie converge quindi per $ |x|<4 $
A questo punto verifico se anche agli estremi converge.
Per x=4 mi accorgo che il criterio di necessaria convergenza non è verificato perchè $ lim _(n->oo) a_n != 0 $ e quindi diverge.
Per $ x=-4 $ ottengo:
$ sum _(n = 1)^(oo) (-1)^n 4^n (n/(2n+1))^(2n-1) $
Ma non riesco a capire se converge o diverge... In valore assoluto diverge perchè si riconduce alla precedente e chiaramente non posso applicare Leibniz poichè il termine generale non tende a 0 (come sopra). Che fare?
Risposte
Credo che devi dimostrare che oscilla, forse proprio per via di quel limite diverso da 0, però aspetta il parere di qualcun altro forse è meglio 
Se $ lim_(nrarr+oo)a_n!=0 $ allora $ lim_(nrarr+oo) (-1)^na_n!=0 $
Per assurdo se $ lim_(nrarr+oo) (-1)^na_n=0 $ per definizione significa che $ EEbar(n) $ tale che per $ n>bar(n) $ si ha $ |(-1)^na_n|
$ |(-1)^na_n|=|(-1)^n||a_n|=|a_n|bar(n) $ cioe' converge a 0 anche il limite $ lim_(nrarr+oo)a_n $. Assurdo!
Il criterio di convergenza necessaria vale anche per le serie di segno alterno, quindi la tua serie in $ x=-4 $ diverge perche' non lo soddisfa.
Per assurdo se $ lim_(nrarr+oo) (-1)^na_n=0 $ per definizione significa che $ EEbar(n) $ tale che per $ n>bar(n) $ si ha $ |(-1)^na_n|
$ |(-1)^na_n|=|(-1)^n||a_n|=|a_n|
Il criterio di convergenza necessaria vale anche per le serie di segno alterno, quindi la tua serie in $ x=-4 $ diverge perche' non lo soddisfa.
Ed è abbastanza per dire che diverge? Per esempio $ sum^(oo)4*(-1)^n $ soddisfa le ipotesi ma non diverge, però forse ho capito male
Se il criterio di convergenza necessario non e' soddisfatto come nel caso di $ sum _(n = 1)^(oo) (-1)^n 4^n (n/(2n+1))^(2n-1) $ allora posso concludere che la serie non converge ossia puo' divergere oppure essere irregolare.
ostrogoto nel primo post affermi che se una serie a segni alterni non soddisfa la condizione di necessaria convergenza allora questa è divergente. Nel secondo post affermi invece che se la condizione non è soddisfatta allora può divergere o essere irregolare. 
In effetti e' buona la seconda: se il criterio non e' soddisfatto allora la serie puo' essere irregolare o divergere.
Nel primo post non ho completato la frase...sorry.
Nel primo post non ho completato la frase...sorry.
Ok... 
Quindi siamo punto e a capo, perchè non posso dire se -4 fa parte dell'insieme di convergenza o meno... xD
Mi chiedo: è sempre verificabile che una data serie sia convergente o divergente o è possibile che non lo si riesca a determinare?
Quindi siamo punto e a capo, perchè non posso dire se -4 fa parte dell'insieme di convergenza o meno... xDMi chiedo: è sempre verificabile che una data serie sia convergente o divergente o è possibile che non lo si riesca a determinare?
No, nel caso $ x=-4 $ concludo che la serie non converge [irregolare o divergente non importa] quindi $ x=-4 $ non fa parte dell'insieme di convergenza!
Ah, giusto! Grazie
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