Serie di potenze
Ciao ragazzi, potete aiutarmi con questo esercizio?
Sapendo che nell'intervallo $ -1 < x <= 1 $ sono soddisfatte le condizioni per lo sviluppo di Mac Laurin:
$ log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... = sum_(n = 1)^(oo) x^n/n (-1)^(n-1) $
determinare l'intervallo di convergenza, precisandone il comportamento anche agli estremi di detto intervallo, della serie:
$ sum_(n=1)^(oo) 1/(n e^n) (x-e)^n $
Calcolare poi la somma di tale serie in tutto il suo intervallo di convergenza.
---------
Dunque, ci troviamo di fronte a una serie di potenze di centro $ x_0 = e $ e di coefficienti $ 1/(n e^n) $
Calcolo il raggio di convergenza con il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo) (|a_(n+1)|) / (|a_n|) = 1/e = l $
Il raggio di convergenza è quindi $ R = 1/l = e $
La serie converge allora nell'intervallo $ (x_0 - R, x_0 + R) $, cioè in $ (0, 2e) $
Vediamo cosa succede agli estremi di tale intervallo.
Per $ x = 2e $ la serie diventa:
$ sum_(n=1)^(oo) 1/n $ che diverge (serie armonica).
Per $ x = 0 $ abbiamo invece:
$ sum_(n=1)^(oo) (-1)^n 1/n $ serie armonica a segni alterni che converge $ (alpha > 0) $
L'insieme di covergenza della serie di potenze è quindi $ [0, 2e) $
Dopodichè non so come procedere per la somma. So che dovrei sfruttare il suggerimento a inizio consegna però non so come. Grazie a chi sappia aiutarmi.
Sapendo che nell'intervallo $ -1 < x <= 1 $ sono soddisfatte le condizioni per lo sviluppo di Mac Laurin:
$ log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... = sum_(n = 1)^(oo) x^n/n (-1)^(n-1) $
determinare l'intervallo di convergenza, precisandone il comportamento anche agli estremi di detto intervallo, della serie:
$ sum_(n=1)^(oo) 1/(n e^n) (x-e)^n $
Calcolare poi la somma di tale serie in tutto il suo intervallo di convergenza.
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Dunque, ci troviamo di fronte a una serie di potenze di centro $ x_0 = e $ e di coefficienti $ 1/(n e^n) $
Calcolo il raggio di convergenza con il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo) (|a_(n+1)|) / (|a_n|) = 1/e = l $
Il raggio di convergenza è quindi $ R = 1/l = e $
La serie converge allora nell'intervallo $ (x_0 - R, x_0 + R) $, cioè in $ (0, 2e) $
Vediamo cosa succede agli estremi di tale intervallo.
Per $ x = 2e $ la serie diventa:
$ sum_(n=1)^(oo) 1/n $ che diverge (serie armonica).
Per $ x = 0 $ abbiamo invece:
$ sum_(n=1)^(oo) (-1)^n 1/n $ serie armonica a segni alterni che converge $ (alpha > 0) $
L'insieme di covergenza della serie di potenze è quindi $ [0, 2e) $
Dopodichè non so come procedere per la somma. So che dovrei sfruttare il suggerimento a inizio consegna però non so come. Grazie a chi sappia aiutarmi.

Risposte
Vale questa uguaglianza che e' quasi simile alla serie del logaritmo:
$ 1/(n\e^n)(x-e)^n=1/n(x/e-1)^n $
poi i termini della serie a sinistra sono tutti negativi sull'intervallo di convergenza quindi ci mettiamo pure $ (-1)^n $ ed il gioco e' fatto...
cosi' la somma della serie originale sara' un log(...) di argomento opportuno...
$ 1/(n\e^n)(x-e)^n=1/n(x/e-1)^n $
poi i termini della serie a sinistra sono tutti negativi sull'intervallo di convergenza quindi ci mettiamo pure $ (-1)^n $ ed il gioco e' fatto...

Grazie ostrogoto! Mi hai illuminato...
Comunque avevo fatto un errore di distrazione, l'intervallo di covergenza è $ [0,2e) $ e non $ [-2e,0) $ . Ho corretto comunque l'errore nel primo post.
A questo punto scrivo:
$ sum_(n=1)^(oo) 1/(n e^n) (x-e)^n = sum_(n=1)^(oo) 1/n ((x-e)/e)^n = sum_(n=1)^(oo) 1/n (x/e -1)^n = sum_(n=1)^(oo) (-1)^n/n (1-x/e)^n = sum_(n=1)^(oo) (-1) (-1)^(n-1)/n (1-x/e)^n = - sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n-1)/n (1-x/e)^n $
Ponendo $ z=1-x/e $ la serie diventa:
$ - sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n-1)/n z^n = - log(1+z) = - log (1+1-x/e) = - log(2-x/e) $
Giusto?

A questo punto scrivo:
$ sum_(n=1)^(oo) 1/(n e^n) (x-e)^n = sum_(n=1)^(oo) 1/n ((x-e)/e)^n = sum_(n=1)^(oo) 1/n (x/e -1)^n = sum_(n=1)^(oo) (-1)^n/n (1-x/e)^n = sum_(n=1)^(oo) (-1) (-1)^(n-1)/n (1-x/e)^n = - sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n-1)/n (1-x/e)^n $
Ponendo $ z=1-x/e $ la serie diventa:
$ - sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n-1)/n z^n = - log(1+z) = - log (1+1-x/e) = - log(2-x/e) $
Giusto?
Somma e intervallo di convergenza sono corretti!
