Serie di potenze
Mi trovo di fronte a questa serie di potenze: $ sum_(n = 0) x^(n^2)/(n!) $
Se a numeratore come esponente ci fosse $ n $ potrei tranquillamente utilizzare il criterio di Cauchy-Hadamard e procedere al calcolo del raggio di convergenza e quindi alla determinazione dell'intervallo in cui la serie converge, ma ritrovandomi $ n^2 $ come posso risolvere? Il procedimento è analogo?
Grazie mille
Se a numeratore come esponente ci fosse $ n $ potrei tranquillamente utilizzare il criterio di Cauchy-Hadamard e procedere al calcolo del raggio di convergenza e quindi alla determinazione dell'intervallo in cui la serie converge, ma ritrovandomi $ n^2 $ come posso risolvere? Il procedimento è analogo?
Grazie mille
Risposte
Quella non è una serie di potenze (non si può mettere nella forma $\sum a_n x^n$), ma una serie di funzioni, con le funzioni del tipo $f_n(x)=\frac{x^{n^2}}{n}$. Conosci i metodi per verificare convergenza puntuale, uniforme ecc.. per tali serie?
No, non abbiamo visto le serie di funzioni
"ciampax":
Quella non è una serie di potenze (non si può mettere nella forma $\sum a_n x^n$)
Approfitto, allora, per chiedere anch'io un chiarimento. Questa serie, scritta nella forma: $1 + x + 0 * x^2 + 0 * x^3 + 1/4! x^4 + ...$, non può essere intesa come serie di potenze? (dove la successione $a_n$ è $1, 1, 0, 0, 1/4!, 0, 0, ..., 1/5!$ eccetera).
@jitter: sì, ma la vedo un po' complicata, in quanto dovresti riuscire a definire in qualche modo alternativo il termine generale. Infatti possiamo osservare che,nel modo in cui l'hai scritta, si avrebbe
$$a_0=1,\ a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=0,\ a_4=\frac{1}{4}$$
e così via. Io procederei a studiarla come serie di funzioni, piuttosto. Così su due piedi non mi vengono in mente metodi che ti permettano di guardarla come serie di potenze.
$$a_0=1,\ a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=0,\ a_4=\frac{1}{4}$$
e così via. Io procederei a studiarla come serie di funzioni, piuttosto. Così su due piedi non mi vengono in mente metodi che ti permettano di guardarla come serie di potenze.
Poniamo
\[
a_n := \begin{cases}
\frac{1}{k!} & \text{ se } n = k^2 \text{e' un quadrato perfetto} \\
0 & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]
Si vede subito che il \( \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 \): infatti, tutta la successione è globalmente limitata da 1 (e quindi \( \limsup \sqrt[n]{a_n} \le 1\)): d'altro canto, lungo la sottosuccessione dei quadrati il limite è esattamente 1 e perciò segue l'asserto.
In definitiva, usando Cauchy-Hadamard, il raggio di convergenza è 1.
\[
a_n := \begin{cases}
\frac{1}{k!} & \text{ se } n = k^2 \text{e' un quadrato perfetto} \\
0 & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]
Si vede subito che il \( \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 \): infatti, tutta la successione è globalmente limitata da 1 (e quindi \( \limsup \sqrt[n]{a_n} \le 1\)): d'altro canto, lungo la sottosuccessione dei quadrati il limite è esattamente 1 e perciò segue l'asserto.
In definitiva, usando Cauchy-Hadamard, il raggio di convergenza è 1.
Grazie Ciampax. La mia domanda era per accertarmi di aver capito il concetto (o meglio, la definizione) di serie di potenze, non sul come sia meglio trattare quella serie, perché anch'io non ho ancora visto le serie di funzioni.
In generale, possiamo sempre affermare che, avendo una serie in cui i coefficienti non nulli formano un insieme M, con M sottoinsieme proprio e non vuoto di N, questa serie è sempre una serie di potenze perché tutti i coefficienti riferiti a $x^p$, con $p \in N-M$ posso porli uguali a zero?
Cioè, i coefficienti della serie del nostro caso io li vedo come tutti "espliciti", solo che alcuni sono nulli. Questo essere nulli, in realtà, è espresso dalla formula perché è necessario. Sbaglio?
"ciampax":
Così su due piedi non mi vengono in mente metodi che ti permettano di guardarla come serie di potenze.
In generale, possiamo sempre affermare che, avendo una serie in cui i coefficienti non nulli formano un insieme M, con M sottoinsieme proprio e non vuoto di N, questa serie è sempre una serie di potenze perché tutti i coefficienti riferiti a $x^p$, con $p \in N-M$ posso porli uguali a zero?
Cioè, i coefficienti della serie del nostro caso io li vedo come tutti "espliciti", solo che alcuni sono nulli. Questo essere nulli, in realtà, è espresso dalla formula perché è necessario. Sbaglio?
Sì jitter, puoi farlo, ma a volte non è semplice. Come vedi il buon paolo ti ha fornito un metodo (ieri non ci avevo pensato) per ragionare in questo senso.
ok, mi è chiaro il "distinguo", grazie ancora 
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