Serie di potenze
Salve ragazzi,
ho la seguente serie di potenze: $sum_(n = 1)^(oo)(2^n + 3^n)/(4^n) x^n$ e mi chiede di studiare la convergenza e la somma.
Ho già studiato la convergenza, ma per la somma ho un pò di problemi :/ Qualcuno mi aiuta?
ho la seguente serie di potenze: $sum_(n = 1)^(oo)(2^n + 3^n)/(4^n) x^n$ e mi chiede di studiare la convergenza e la somma.
Ho già studiato la convergenza, ma per la somma ho un pò di problemi :/ Qualcuno mi aiuta?
Risposte
Io avevo pensato di spezzare la sommatoria in due sommatorie ottenendo:
$sum_(n = 1) ^(oo) 2^n/(4^n)x^n + sum_(n = 1)^(oo)3^n/(4^n)x^n = sum_(n = 1) ^(oo) (x/2)^n + sum_(n = 1)^(oo)((3x)/4)^n$
A questo punto sostituisco $ x/2 = t$ e $(3x)/4 = z$ ottenendo due serie geometiche e se il loro argomento è compreso tra -1 ed 1 allora posso dire che la somma e' $1 / (1- t)$.
Il mio ragionamento è giusto?
Ovviamente dovrei dare l'intervallo di x per il quale l'argomento della serie geometrica non "sfori"...
$sum_(n = 1) ^(oo) 2^n/(4^n)x^n + sum_(n = 1)^(oo)3^n/(4^n)x^n = sum_(n = 1) ^(oo) (x/2)^n + sum_(n = 1)^(oo)((3x)/4)^n$
A questo punto sostituisco $ x/2 = t$ e $(3x)/4 = z$ ottenendo due serie geometiche e se il loro argomento è compreso tra -1 ed 1 allora posso dire che la somma e' $1 / (1- t)$.
Il mio ragionamento è giusto?
Ovviamente dovrei dare l'intervallo di x per il quale l'argomento della serie geometrica non "sfori"...
Tem, grazie per la risposta, ma non mi è molto chiara la seconda uguaglianza 
C'è qualche teorema che dovrei dimostrare?
C'è qualche teorema che dovrei dimostrare?
Wow, non ero a conoscenza di questa uguaglianza, la mia massima conoscenza era (la meno generale) forumula:
$ sum_(n = 0)^(oo)q^n = 1/(1-q) $
$ sum_(n = 0)^(oo)q^n = 1/(1-q) $
Grazie, davvero utilissima!
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