Serie di potenze

[Raffit]

Ciao a tutti, stavo risolvendo questa serie.

$ sum_(n=1)^(infty) (x^n/(n 2^n)) $

Serie di potenze di centro x0=0. Converge per |x|<2 e quindi l'intervallo di convergenza è ]-2;2[.
Agli estremi:
per x=2 diverge in quanto si tratta della serie armonica semplice
per x=-2 diventa di una serie a segni alterni che converge per il criterio di Leibniz

Ora devo trovare la funzione somma ma non ho mai capito bene come si fa. Qualcuno può darmi una mano?

[Sk_Anonymous]

Dopo aver verificato di essere nelle ipotesi del Teorema di integrazione per serie, potresti osservare che \[\frac{x^n}{n 2^n} = \int \frac{x^{n-1}}{2^n} \, dx\]e quindi ricondurti ad una serie geometrica.

[Raffit]

"Delirium":Dopo aver verificato di essere nelle ipotesi del Teorema di integrazione per serie, potresti osservare che \[\frac{x^n}{n 2^n} = \int \frac{x^{n-1}}{2^n} \, dx\]e quindi ricondurti ad una serie geometrica.

Grazie per l'input ma sono di nuovo bloccato. Allora, per prima cosa derivo termine a termine e ottengo $ sum_(n=1)^(infty) (n x^(n-1))/(n(2^n)) $ semplifico e faccio in modo che numeratore e denominatore abbiano lo stesso esponente quindi diventa $sum_(n=1)^(infty) x^(n-1)/(2* 2^(n-1)) $ e poi $1/2 sum_(n=1)^(infty) (x/2)^(n-1) $
Fin qui è giusto? ora come proseguo?

[Sk_Anonymous]

I tuoi passaggi sono un po' confusi. Quello che puoi osservare è la seguente cosa: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x \frac{t^{n-1}}{2^n} \, dt \]
Dopo aver verificato di poterlo fare (!), si scambiano serie ed integrale e si ottiene che \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n 2^n}=\frac{1}{2} \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{t}{2} \right)^{n-1} \]
Infine basta ricordare che \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{t}{2} \right)^{n-1}=\frac{1}{1 - t/2} \]

[Raffit]

"Delirium":I tuoi passaggi sono un po' confusi. Quello che puoi osservare è la seguente cosa: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x \frac{t^{n-1}}{2^n} \, dt \]
Dopo aver verificato di poterlo fare (!), si scambiano serie ed integrale e si ottiene che \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n 2^n}=\frac{1}{2} \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{t}{2} \right)^{n-1} \]
Infine basta ricordare che \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{t}{2} \right)^{n-1}=\frac{1}{1 - t/2} \]

Grazie per l'aiuto. In pratica nel programma di analisi Il teorema di cui mi hai parlato non c'è e il prof non l'ha spiegato, infatti non ne conoscevo l'esistenza. Però ci sono da fare esercizi dove bisogna applicarlo a quanto pare -.- mah..

[gugo82]

Non mi pare possibile che non sia stato nemmeno accennato al teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale... Forse l'avete enunciato per le successioni, ma esso vale anche per le serie (in quanto si applica alla successione delle somme parziali).