Serie di potenze!

[Zuzzerello1]

Buongiorno! Mi trovavo alle prese con questa serie:
$\sum_{k=1}^\infty (n^2+1)x^n$.
Per quanto riguarda la risoluzione, pensavo di utilizzare la serie derivata per poi determinarne il raggio di convergenza... Sono sulla buona strada?
Mi correggo, avevo pensato di utilizzare il criterio del rapporto: $lim_{n \rightarrow \infty} |{((n+1)^2+1)x}/{(n^2+1)}|=|x|<1$, quindi la serie converge in $]-1,1[$. Sbagliato qualcosa?

[Zero87]

"Zuzzerello":Mi correggo, avevo pensato di utilizzare il criterio del rapporto: $lim_{n \rightarrow \infty} |{((n^2+1)+1)x}/{(n^2+1)}|=|x|<1$, quindi la serie converge in $]-1,1[$. Sbagliato qualcosa?

Non so se influisce sul risultato, ma comunque c'è un errore.

Nel criterio del rapporto si tratta di vedere
$lim_(n-> \infty) |\frac{a_(n+1)}{a_n}|$
solo con i coefficienti (nella dimostrazione del teorema compare anche la $x$ ma poi si vede che non serve).
Comunque, l'errore non è tanto nella $x$, ma quanto nel $a_(n+1)$

Se il coefficiente $a_n = (n^2 +1)$, $a_(n+1)= ((n+1)^2+1) \ne ((n^2+1)+1)$: quando si sostituisce indice, bisogna sostituirlo "dove sta", non basta - in genere - aggiungere semplicemente un $1$.

[Zuzzerello1]

Sì, è vero! Una stupida svista! Correggo all'istante!
A parte quello, il resto è ok? E un'altra cosa: in che senso la $x$ non serve?

[Zero87]

"Zuzzerello":A parte quello, il resto è ok? E un'altra cosa: in che senso la $x$ non serve?

Vediamo, cercherò di essere chiaro e ordinato: almeno ci provo.

Prendiamo una serie di potenze in forma canonica - se non lo è basta traslare, ma non mi fermo su questo dettaglio - che possiamo scrivere
$\sum_(n=1)^\infty a_n x^n$

Dato che è una serie - per $x$ fissato diventa una serie numerica! - possiamo applicare il criterio del rapporto per le serie
$\lim_(n->+\infty) |(a_(n+1) x^(n+1))/(a_n x^n)|= \lim_(n->+\infty) |(a_(n+1))/(a_n)||x|$

La $x$ - che al variare di $x$ è comunque un numero reale - non c'entra con il limite, posso portarla fuori e ottengo
$|x| \lim_(n->+\infty) |(a_(n+1))/(a_n)|$

Il criterio del rapporto per serie numeriche ci dà delle diverse opzioni a seconda di quanto varia quel limite. Ricordiamole
- se il limite è $<1$, la serie converge
- se il limite è $>1$, la serie non converge.

Questo valeva per serie numeriche, mentre qui abbiamo serie di funzioni: tuttavia possiamo ricondurci.

Otteniamo, dunque
$|x| \lim_(n->+\infty) |(a_(n+1))/(a_n)| = |x| l$
dove con $l$ indico il limite di quel rapporto che varia tra $0$ e $+\infty$. Mi riconduco, dunque, alle serie numeriche adeguandomi al fatto che c'è quell'$|x|$
- se $l\in \RR$ allora la serie converge per $|x|< 1/l$ in quanto $|x| l < 1/l \cdot l =1$ che mi riporta al criterio del rapporto (ricordiamo che $x$ fissato corrisponde a un numero reale)
- se $l=0$ allora $|x|l=0$ a prescindere dal valore che diamo a $x$ quindi la serie converge sempre ($0<1$ ovvio)
- se $l=\infty$ la serie converge solo per $x=0$ in quanto a prescindere dal valore che diamo a $x$, abbiamo $|x|l=\infty$.

Questa è anche la dimostrazione del criterio del rapporto per serie di potenze (a partire da quella del criterio del rapporto per serie numeriche).

Ho detto che la $x$ non serve proprio perché "in genere" - la maggior parte dei libri di testo è così - si fa il rapporto solo tra i coefficienti della serie dando risposte "preimpostate" che non implicano la $|x|$ dentro.
Comunque, nell'eventualità che ho frainteso la richiesta come è successo di recente in un'altra serie di potenze - stavolta non credo - (m'ha corretto theras), invito theras, o qualcun'altro, a smentirmi.

[Zuzzerello1]

Perfetto! Fantastica esposizione! Chiarissimo! Da quanto hai detto si ha quindi che data la serie
$\sum_{k=1}^\infty (n^2+1)x^n$
il centro è $0$ e i termini sono dati da $a_n :=n^2+1$, per cui, dal criterio del rapporto:
$lim_{x \rightarrow \infty} {(n+1)^2+2}/{n^2+1}=1$ e quindi il raggio di convergenza è $1$.
Quindi $|x|<1 \Leftrightarrow -1 Vediamo che succede al confine!
Per $x=-1$ si ha che la serie diviene $\sum_{k=1}^\infty (n^2+1)(-1)^n$, non converge.
Ovviamente per $x=1$ la serie nemmeno converge e quindi si ha che la serie considerata converge per $x \in ]-1,1[$.
Fantastico!!
Fin qui ci siamo! Ora devo occuparmi di un'altra faccenda, ovvero del fatto che mi è stato anche chiesto di calcolare il valore della serie!! (se qualcuno ha qualche consiglio non si trattenga! XD)
Comunque grazie mille! Fantastica spiegazione

[Zero87]

"Zuzzerello":Da quanto hai detto si ha quindi che data la serie
$\sum_{k=1}^\infty (n^2+1)x^n$ [...]
Quindi $|x|<1 \Leftrightarrow -1
Sì, ok, ho controllato anche con wolframalpha già che c'ero.

"Zuzzerello":Vediamo che succede al confine!
Per $x=-1$ si ha che la serie diviene $\sum_{k=1}^\infty (n^2+1)(-1)^n$, non converge.
Ovviamente per $x=1$ la serie nemmeno converge e quindi si ha che la serie considerata converge per $x \in ]-1,1[$.

Right, sono 2 serie numeriche che si possono facilmente trattare come tali sfruttando i soliti criteri.

"Zuzzerello":Ora devo occuparmi di un'altra faccenda, ovvero del fatto che mi è stato anche chiesto di calcolare il valore della serie!! (se qualcuno ha qualche consiglio non si trattenga! XD)

[size=80]Per ora passo e vado a dormire...[/size]

[Zuzzerello1]

D'accordo! Buonanotte allora e grazie ancora per i chiarimenti soddisfacenti!

[theras]

@James.
Si direbbe che prosegue sempre meglio la tua opera di affinamento delle doti didattiche:
mi limito a dirti,per quanto conta il mio parere,che vedo tanta scorrevolezza e bontà di contenuti,
in quanto hai scritto..
@Zuzzerello.
Ne convieni che ti basta calcolare $sum_(n=1)^(+oo) n^2 x^n$?
Sei nelle condizioni per affermare che $sum_(n=1)^(+oo) n^2*x^n=x*sum_(n=1)^(+oo) D(n*x^n)=x*D(sum_(n=1)^(+oo) n*x^n)=$
$=x*D(x*sum_(n=1)^(+oo) D(x^n))=x*D(x*D(sum_(n=1)^(+oo) x^n))=..$ $AA x in (-1,1) setminus{0} $?
Se la risposta è si,ci dici perché,a quale uguaglianza vieni portato dai conti e se essa vale pure per $x=0$?
Mi scuso anticipatamente se m'è scappato qualche limitatore del tex o qualche parentesi,
ma purtroppo non posso effettuare l'anteprima:
saluti dal web.

[Zuzzerello1]

Quindi ci si riconduce alla serie geometrica!!
Ma come mai per calcolare $\sum_{k=1}^\infty (n^2+1)x^n$ mi basta ridurmi a calcolare $\sum_{k=1}^\infty n^2x^n$? Perché $\sum_{k=1}^\infty (n^2+1)x^n=\sum_{k=1}^\infty n^2x^n+x^n$ e il valore di $x^n$ lo conosciamo già? Quindi basta capire il valore di $\sum_{k=1}^\infty n^2x^n$?

[Zero87]

"theras":@James.
Si direbbe che prosegue sempre meglio la tua opera di affinamento delle doti didattiche:
mi limito a dirti,per quanto conta il mio parere,che vedo tanta scorrevolezza e bontà di contenuti,
in quanto hai scritto..

Grazie theras, ma non so nemmeno se prenderò questa strada dato che di tfa... neanche l'ombra!

"Zuzzerello":Quindi ci si riconduce alla serie geometrica!!

Avevo qualche sospetto ieri sera e avevo frettolosamente trovato
$-1-\frac{d^2}{dx^2}(\frac{1}{1-x})$
che, post suggerimento di theras - inoltre se si ha sonno meglio lasciar perdere la matematica ed andare a dormire - ho visto essere sbagliatissima.

"Zuzzerello":Ma come mai per calcolare $ \sum_{k=1}^\infty (n^2+1)x^n $ mi basta ridurmi a calcolare $ \sum_{k=1}^\infty n^2x^n $? Perché $ \sum_{k=1}^\infty (n^2+1)x^n=\sum_{k=1}^\infty n^2x^n+x^n $ e il valore di $ x^n $ lo conosciamo già? Quindi basta capire il valore di $ \sum_{k=1}^\infty n^2x^n $?

Guarda, hai fatto confusione con le proprietà delle serie (oppure è una svista, non so o magari intendevi lo stesso ma senza la parentesi ho frainteso...).
$\sum_(n=1)^\infty (n^2+1)x^n = \sum_(n=1)^\infty n^2 x^n+ \sum_(n=1)^\infty x^n$
dove la seconda serie è la classica serie geometrica - siamo in ambito $|x|<1$ quindi la somma c'è e siamo apposto - che dà come risultato $\frac{1}{1-x}$ se non ricordo male.

Per questo theras aveva detto di pensare direttamente a
$\sum_(n=1)^\infty n^2 x^2$
perché spezzando la serie il secondo termine era abbastanza immediato.

[theras]

@James.
[ot]Capisco la situazione,G.,ma fatti dire questo,
per esperienza personale e di coppia che magari ti racconto in Pm:
nel frattempo che percorri altre vie,tieni aperti cuore e cervello a quell'eventualità e non chiudere i libri..
Ti sei laureato in tempi ottimi e,anche se ora sei colpito da quest'attesa senza luce né certezze dell'ordinario,
più avanti potresti accorgerti dei vantaggi di ciò:
in gamba,mi raccomando .[/ot]
@Zuzzerello.
La risposta alla tua domanda è quella di Zero87:
c'eri quasi .
Saluti dal web.

[Zuzzerello1]

Sì Zero87, ho sbagliato a non mettere le parentesi nella somma, così infatti risulta ambigua!! Per il resto è tutto chiaro, ancora complimenti per la spiegazione (molto molto completa e chiara) e grazie a entrambi!!

[Zero87]

"Zuzzerello":Per il resto è tutto chiaro, ancora complimenti per la spiegazione (molto molto completa e chiara) e grazie a entrambi!!

Di nulla... ma non esagerare con i complimenti sennò mi monto la testa!

[Zuzzerello1]

Meritatissimi secondo me