Serie di potenze

[edoardo920]

aiuto ragazzi ho un parziale tra poco e non riesco proprio a risolvere alcuni esercizi (tutti della stessa tipologia). gli esempi dati dal prof hanno una risoluzione relativamente semplice e sempre dello stesso tipo. cioè chiede di calcolare raggio di convergenza e somma di espressioni così:

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n}(x)^n$

il raggio di convergenza lo calcolo subito (=1/2) mentre per la somma derivo e raccolgo il due

$f'(x)=2\sum_{n=1}^\infty\2^(n-1)x^(n-1)= 2/(1-2x)$

perciò: $f(x)=-log(1-2x)$

quindi mi sembrava di aver capito che l'unica cosa da fare è derivare e usare artifici per ricondursi a serie geometriche. ora però negli esercizi che ha dato da risolvere a noi (e quindi senza risoluzione) ci propone equazioni che nonostante mi sforzi non riesco proprio a ricondurre a serie geometriche:

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\(-2)^n(n+2)/(n+1)z^n$

il raggio di convergenza col criterio del rapporto è immediato (1/2) ma per la somma non saprei:

ho provato a raccogliere $frac{1}{-2z}$ ottenendo:

$f(x)=frac{1}{-2z}\sum_{n=0}^\infty\(-2z)^(n+1)frac{n+2}{n+1}$

cioè derivando:

$f'(x)=frac{1}{2z^2}\sum_{n=0}^\infty\(-2z)^(n+1)frac{n+2}{n+1}-frac{1}{2z}\sum_{n=0}^\infty\(-2z)^n(n+2)$

ora visto la mia scarsa esperienza col latex preferisco fermarmi qui, ma a casa ho provato ad andare avanti con l'unico risultato di ottenere espressioni che sono solo più un casino. se qualcuno ha qualche idea mi potrebbe aiutare?

[Quinzio]

$\sum_{n=0}^\infty\(-2)^n(n+2)/(n+1)z^n$

moltiplichi per $z$

$\sum_{n=0}^\infty\(-2)^n(n+2)/(n+1)z^(n+1)$

integri

$\sum_{n=0}^\infty\(-2)^n 1/(n+1)z^(n+2)$

dividi per $z$

$\sum_{n=0}^\infty\(-2)^n 1/(n+1)z^(n+1)$

derivi

$\sum_{n=0}^\infty\(-2)^n z^n $

quindi abbiamo

$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n (2z)^n $

che da $1/(1+2z)$ nel raggio di convergenza

quindi si rifa la catena al contrario

integri

$1/2 log(1+2z)+c$

(facendo in modo che per (ad esempio) $z=0$ la sommatoria e la funzione siano uguali, $c=0$)

moltiplichi per $z$

$z/2 log(1+2z)$

derivi

$1/2 ((2z)/(1+2z)+ log(1+2z))$

dividi $z$

$1/2 (2/(1+2z)+1/z log(1+2z))$

[edoardo920]

grande! il risultato è giusto. ho provato anche ad usare wolfram alpha ma non riusciva a darmi soluzione (forse dovrei usare la versione a pagamento)

allora io posso moltiplicare e dividere per qualsiasi variabile (che non sia funzione di n) a patto che dopo rifaccia tutti i passaggi al contrario?