Serie di potenze
qualcuno potrebbe aiutarmi a calcolare il raggio di convergenza della serie
+∞
3+ ∑ [(1+1/n)^n - 1/2]x^n
n=0
il numero 3 non devo considerarlo affatto??io pensavo di "dividere" la serie in due parti..ma non so se si può fare..
+∞
3+ ∑ [(1+1/n)^n - 1/2]x^n
n=0
il numero 3 non devo considerarlo affatto??io pensavo di "dividere" la serie in due parti..ma non so se si può fare..
Risposte
\begin{align}
3+\sum_{n=0}^{+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\frac{1}{2}\right] x^n
\end{align}
3+\sum_{n=0}^{+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\frac{1}{2}\right] x^n
\end{align}
Si scusa non riuscivo a scriverla in quel modo...mi sai aiutare?
"Noisemaker":
\begin{align}
3+\sum_{n=0}^{+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\frac{1}{2}\right] x^n
\end{align}
Si scusa non riuscivo a scriverla in quel modo...mi sai aiutare?
proverei a fare cosi: la serie è centrata in $0$ e converge quando $3+|x|<1$ infatti:
\begin{align}
3+\lim_{n\to+\infty}\frac{ \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\frac{1}{2}\right] |x|^n}{ \left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\frac{1}{2}\right] |x|^{n+1}} =3+|x|\to\mbox{converge se} \quad |x|<-2
\end{align}
il che è impossibile, e quindi non converge mai...
\begin{align}
3+\lim_{n\to+\infty}\frac{ \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\frac{1}{2}\right] |x|^n}{ \left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\frac{1}{2}\right] |x|^{n+1}} =3+|x|\to\mbox{converge se} \quad |x|<-2
\end{align}
il che è impossibile, e quindi non converge mai...
"Noisemaker":
proverei a fare cosi: la serie è centrata in $0$ e converge quando $3+|x|<1$ infatti:
\begin{align}
3+\lim_{n\to+\infty}\frac{ \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\frac{1}{2}\right] |x|^n}{ \left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\frac{1}{2}\right] |x|^{n+1}} =3+|x|\to\mbox{converge se} \quad |x|<-2
\end{align}
il che è impossibile, e quindi non converge mai...
quindi il 3 va aggiunto al raggio di convergenza???solo che quand0 fai il limite del rapporto vanno invertiti il numeratore e il denominatore che tu hai scritto...
in realtà si , se applichi il criterio del rapporto, ma per la ricerca del raggio di convergenzam sai che alla fine è il reciproco del risultato del limite;
\[\lim_{n}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L\qquad\to\qquad R=1/L\qquad\to\qquad \lim_{n}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R\]
\[\lim_{n}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L\qquad\to\qquad R=1/L\qquad\to\qquad \lim_{n}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R\]
"Noisemaker":
in realtà si , se applichi il criterio del rapporto, ma per la ricerca del raggio di convergenzam sai che alla fine è il reciproco del risultato del limite;
\[\lim_{n}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L\qquad\to\qquad R=1/L\qquad\to\qquad \lim_{n}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R\]
si questo vero..comunque non mi convince questo risultato , sono sicura che la serie ha un raggio di convergenza..grazie lo stesso
Per quanto riguarda lo studio della convergenza quel \(3\) si può tranquillamente buttare (incide solo sulla somma della serie).
"Rigel":
Per quanto riguarda lo studio della convergenza quel \(3\) si può tranquillamente buttare (incide solo sulla somma della serie).
Meglio così!! non sai darmi nessun consiglio sull'altro pezzo invece?
Per il resto vale la procedura già scritta da Noisemaker (togliendo il \(3\) e correggendo le conclusioni).
...un'idiozzia! devrei essere bannato per ciò che ho scritto!!! 
"Noisemaker":
...un'idiozzia! devrei essere bannato per ciò che ho scritto!!!
Eventualmente verrai bannato per la doppia "z"
"Rigel":
Per il resto vale la procedura già scritta da Noisemaker (togliendo il \(3\) e correggendo le conclusioni).
aaaaah perfetto quindi visto che del 3 non devo tener conto la serie converge per $|x|<1$ (vediamo se ho scritto bene i simboli!!)
Grazie mille
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