Serie di potenza aiuto
Ho dato l'esame di analisi 2 ma ho qualche dubbio su questo esercizio che ho svolto, vi espongo il mio ragionamento con relativi dubbi.
Esercizio:
Sia $\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(x+1/7)^n$ , trovare il suo raggio di convergenza e determinare l'insieme E di tutti gli x tali che la serie converge;
Primo passo devo determinare il raggio di convergenza, quindi applico il criterio del rapporto per determinare $l$ e $\rho=1/l$ quindi :
$\lim_{n \to \infty}|frac{6^(n+1)+(-7)^(n+1)}{n+1}*frac{n}{6^(n)+(-7)^(n)}|=\lim_{n \to \infty}|frac{n}{n+1}*frac{6^(n+1)+(-7)^(n+1)}{6^(n)+(-7)^(n)}|=\lim_{n \to \infty}|frac{6^(n+1)+(-7)^(n+1)}{6^(n)+(-7)^(n)}|=\lim_{n \to \infty}|frac{6^n*6+(-7)(-7)^n}{6^n+(-7)^(n)}|=\lim_{n \to \infty}|frac{6^n*(6+(-7)(-7/6)^(n))}{6^n*(1+(-7/6)^(n))}|$ a questo punto mi è venuto un dubbio il limite $(-7/6)^2$ esiste?e se esiste quanto è?io l'ho considerato uguale a 0 ma penso sia sbagliato, quindi mi è risultato $l=6$ e $\rho=1/6$
Trovato $\rho$ devo studiare cosa succede nei punti $x=-13/42$ e $x=1/42$ cioè se in questi punti la serie converge o diverge per determinare l'insieme E:
$x=-13/42$:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(-1/6)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n+(7/6)^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n/n+\sum_{n=1}^\infty\(7/6)^n/n$
$\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n/n$ dovrebbe convergere per Leibnitz e $\sum_{n=1}^\infty\(7/6)^n/n$ credo diverga perchè il suo limite è maggiore di 1.
$x=1/42$:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(1/6)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(1)^n+(-7/6)^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty\1/n+\sum_{n=1}^\infty\(-7/6)^n/n$
$\sum_{n=1}^\infty\1/n$ diverge mentre $\sum_{n=1}^\infty\(-7/6)^n/n$ converge.
Questi ultimi passaggi sono pieni di dubbi. Potete aiutarmi a comprendere meglio?
Esercizio:
Sia $\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(x+1/7)^n$ , trovare il suo raggio di convergenza e determinare l'insieme E di tutti gli x tali che la serie converge;
Primo passo devo determinare il raggio di convergenza, quindi applico il criterio del rapporto per determinare $l$ e $\rho=1/l$ quindi :
$\lim_{n \to \infty}|frac{6^(n+1)+(-7)^(n+1)}{n+1}*frac{n}{6^(n)+(-7)^(n)}|=\lim_{n \to \infty}|frac{n}{n+1}*frac{6^(n+1)+(-7)^(n+1)}{6^(n)+(-7)^(n)}|=\lim_{n \to \infty}|frac{6^(n+1)+(-7)^(n+1)}{6^(n)+(-7)^(n)}|=\lim_{n \to \infty}|frac{6^n*6+(-7)(-7)^n}{6^n+(-7)^(n)}|=\lim_{n \to \infty}|frac{6^n*(6+(-7)(-7/6)^(n))}{6^n*(1+(-7/6)^(n))}|$ a questo punto mi è venuto un dubbio il limite $(-7/6)^2$ esiste?e se esiste quanto è?io l'ho considerato uguale a 0 ma penso sia sbagliato, quindi mi è risultato $l=6$ e $\rho=1/6$
Trovato $\rho$ devo studiare cosa succede nei punti $x=-13/42$ e $x=1/42$ cioè se in questi punti la serie converge o diverge per determinare l'insieme E:
$x=-13/42$:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(-1/6)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n+(7/6)^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n/n+\sum_{n=1}^\infty\(7/6)^n/n$
$\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n/n$ dovrebbe convergere per Leibnitz e $\sum_{n=1}^\infty\(7/6)^n/n$ credo diverga perchè il suo limite è maggiore di 1.
$x=1/42$:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(1/6)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(1)^n+(-7/6)^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty\1/n+\sum_{n=1}^\infty\(-7/6)^n/n$
$\sum_{n=1}^\infty\1/n$ diverge mentre $\sum_{n=1}^\infty\(-7/6)^n/n$ converge.
Questi ultimi passaggi sono pieni di dubbi. Potete aiutarmi a comprendere meglio?
Risposte
Il limite di $(-7/6)^n$ non esiste, l'argomento della potenza in modulo è maggiore di 1 e il termine continua ad oscillare..
Prova a raccogliere $(-7)^n$ invece che $6^n$..
Paola
Prova a raccogliere $(-7)^n$ invece che $6^n$..
Paola
grazie Paola
ok, raccogliendo $(-7)^n$ sembra più esatto:P infatti :
ottengo che $\rho=1/7$ da cui studio l'insieme E nei punti
$x=-2/7$
$\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(-1/7)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-6/7)^n+1}{n}$ e quindi diverge
$x=0$
$\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(1/7)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(6/7)^n+(-1)^n}{n}$ che converge...quindi l'insieme $E=(-2/7,0]$ ora so di aver totalmente sbagliato un esercizio dell'esame XD
ok, raccogliendo $(-7)^n$ sembra più esatto:P infatti :
ottengo che $\rho=1/7$ da cui studio l'insieme E nei punti
$x=-2/7$
$\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(-1/7)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-6/7)^n+1}{n}$ e quindi diverge
$x=0$
$\sum_{n=1}^\infty\frac{6^n+(-7)^n}{n}(1/7)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(6/7)^n+(-1)^n}{n}$ che converge...quindi l'insieme $E=(-2/7,0]$ ora so di aver totalmente sbagliato un esercizio dell'esame XD
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