Serie di numeri complessi

[Mith891]

ciao a tutti, devo determinare il carattere di questa serie di numeri complessi:
$ sum_(n = 0)^(+oo) (e^(i n))/(i + e^n) $
per prima cosa dovrei normare (si dice così?) la serie in modo da far sparire le $ i $ però mi è venuto un dubbio: al numeratore ho la i all'esponente e quindi non va via semplicemente elevandolo al quadrato. Come si potrebbe fare?

[Sk_Anonymous]

$|e^(i n)/(i+e^n)|=1/(sqrt(1+e^(2n)))$

[Mith891]

forse ho capito: hai usato le formule di Eulero? Dato che $ e^(i n) = cos n + i sin n $ allora $ |e^(i n)| = sqrt ((cos n)^2 + (i sin n)^2) $ che giustamente fa uno.

[Gi81]

Il modulo di un numero complesso è un numero reale, non un atro numero complesso come hai scritto tu.
In generale, se $z=a+ib$ con $a,b in RR$, allora $|z|=a^2+b^2$

Ora, come certamente saprai, $e^(i n)=cos(n)+isin(n)$
Quindi $|e^(i n)|=...$

[Mith891]

grazie, l'ho capito mentre mi scrivevi la risposta

[Mith891]

mi potreste dare una mano anche con questa serie?
$ sum_(n = 0)^(+oo) ((cos (npi))/sqrt(n+1))-i (cos(1/(n+2))-1) $
se non vado errato per prima cosa facciamo la norma, quindi
$ |((cos (npi))/sqrt(n+1))-i (cos(1/(n+2))-1)| = sqrt ((cos^2 (npi))/(n+1) + (cos(1/(n+2))-1)^2) $
a questo punto, se è giusto quello che ho fatto l'unica cosa che mi viene in mente è che $ cos^2 (npi) = 1 $... indizi?

[Sk_Anonymous]

Potrebbe convenire studiare separatamente la parte reale e la parte immaginaria.

[Mith891]

ok, svista di battitura, l'ho corretta. Cosa intendi per studiare prima una parte e poi l'altra? Indendi dire che dovrei spezzare la serie in due serie

$ sum_(n = 0)^(+oo) ((cos (npi))/sqrt(n+1)) $ e $ sum_(n = 0)^(+oo) -i (cos(1/(n+2))-1) $

e quindi studiare i caratteri di entrambe? se è così la prima diverge, ma la seconda?Nemmeno Wolfram me la risolve, mi sa che sbaglio qualcosa...

[Sk_Anonymous]

Se pensi che la prima diverga, l'esercizio è finito.