Serie di neumann

[blunotte]

Esercizio di analisi funzionale:
Si risolva l'equazione integrale
$u(t)-int_0^1 2*s*t*u(s)ds = sin(\pi t)$ dove $t\in [0,1], u\in C([0,1])$
con l'aiuto della serie di Neumann (perché converge?).

Premessa, della serie di Neumann io conosco solo questo teorema:
Sia $X$ uno spazio normato e $T\in L(X)$ (funzionale lineare continuo da X a X). Supposto che esista $lim_{k->oo} sum_{n=0}^k T^n$ in $L(X)$, allora $I-T$ è invertibile e si ha $(I-T)^(-1) =sum_{n=0}^oo T^n$. Se inoltre $X$ è uno spazio di Banach e $||T||<1$ allora $||(I-T)^(-1)||<= 1/(1-||T||)$.

Dato che $T$ non è stata definita, credo che la cosa più naturale sia prendere $Tu=int_0^1 2*s*t*u(s)ds$, dovrei ancora controllare che sia a valori in $C([0,1])$ e che sia lineare e continua, ma prima di procedere vorrei capire cosa e come utilizzare questa serie...

[gugo82]

Sì hai intuito giusto.
Basta porre $Tu=\int_0^12ts*u(s)" d"s$ per avere un operatore addirittura compatto di $C([0,1])$ (per provare che $Tu in C([0,1])$ o usi l'uniforme continuità di $2ts$ in $[0,1]^2$ oppure, più banalmente, ti basta notare che $t$ può essere portato fuori dal segno d'integrale; per provare la compattezza o usi Ascoli-Arzelà oppure noti che $T$ è a rango finito).

L'operatore $T$ viene detto anche operatore a nucleo e la funzione $K(t,s)=2ts$ viene detta nucleo di $T$; la serie di Neumann di un operatore a nucleo si ottiene con degli integrali multipli, che escono fuori appena cerchi di calcolare esplicitamente le iterate $T^k$ dell'operatore $T$.

Noto però che puoi pure sbrigartela in altra maniera sfruttando l'Algebra Lineare (in fondo tutti i problemi per gli operatori a rango finito sono problemi di Algebra Lineare): ad esempio come ho fatto io nello svolgimento di questo esercizio nell'English Corner, applicando un po' di cosette come la dualità tra $C([0,1])$ e $NBV([0,1])$ e l'Alternativa di Fredholm.

Insomma l'esercizio è abbastanza facile.

[blunotte]

Grazie per il link e per l'hint per la prima parte...
Il link l'ho trovato molto interessante, ma... mi mancano molte basi per capirlo... vorrei riesaminarlo più in là magari con qualche nozione in più! In ogni caso mi è stato utile per calcolare il risultato e quindi capire cosa aspettarmi dalla soluzione...ma...
anche se sembra banale io non riesco a risolvere l'esercizio con la serie di Neumann (ed è la via che vorrei seguire perché suggerita dal prof.).

Posto $Tu= int_0^1 2*ts*u(s)ds$ e usando il fatto che $(I-T)^(-1) = sum_{n=0}^oo T^n$ ho provato questa via:
$(I-T)^(-1)(I-T) = I$ quindi $(I-T)^(-1)(I-T)u =u$ e quindi:
$sum_{n=0}^oo T^n *(u(t)-int_0^1 2*st*u(s)ds) = u$ da cui
$sum_{n=0}^oo (int_0^1 2*ts*u(s)ds)^n * sin\pi t = u$

Ma ora?!? Come calcolo la serie? o come posso risolvere quell'integrale, so che è solo un numero e ho provato anche a trattarlo semplicemente come una costante, ma non arrivo da nessuna parte... :S
Un aiutino?

[gugo82]

Evidentemente $(I-T)u=f$ ha per soluzione $u=f+\sum_(k=1)^(+oo)T^kf$ se la serie di Neumann relativa a $T$ (ossia la serie operatoriale $\sum_k T^k$*) risulta convergente in $L(C([0,1]))$. Esistono alcune condizioni sufficienti affinchè ciò accada: ad esempio te ne riporto due:

a) la norma di $T$ come operatore di $C([0,1])$ in sé sia $<1$;

b) per ogni $f in C([0,1])$ esiste un indice $nu in NN$ tale che $T^nu f=0$ (nota bene che questa condizione implica che $T^kf=0$ per ogni $kge nu$).

Quindi prima di usare la serie di Neumann potresti cercare di stabilire se $||T||_(op)<1$ oppure potresti provare a calcolare le prime iterate di $T$ su $f(t)=sin pit$ e vedere se per caso (un caso fortunato!) trovi una iterata nulla.
Se questi test falliscono allora conviene trovare un'espressione buona per gli addendi della serie di funzioni $\sum_k T^kf$ e provare che essa converga uniformemente con metodi da Analisi II.
Nel caso in questione è molto semplice esprimere le funzioni $T^kf(t)$ (ed il tuo prof. ha avuto ragione a consigliarti questa strada) come ora vedremo.

Se chiamiamo per semplicità $alpha=\int_0^1s*f(s)" d"s$ possiamo scrivere:

$Tf(t)=2alpha*t quad$;

calcoliamo $T^2f(t)$:

$T^2f(t)=T(Tf(t))=2t*\int_0^1s*Tf(s)" d"s=2^2alpha*t*\int_0^1s^2" d"s$

e quindi:

$T^2f(t)=2^2/3 alpha*t$;

allo stesso modo:

$T^3f(t)=2\int_0^1t*T^2f(s)" d"s=2^3/3alpha*t*\int_0^1s^2" d"=2^3/3^2 alpha*tsquad$...

Per ricorrenza è allora facile provare che: $AA k in NN$,

$T^kf(t)=2^k/3^(k-1)alpha t quad$,

onde per cui si ha: $AA n in NN$,

$\sum_(k=1)^n T^kf(t) =\sum_(k=1)^n 2^k/3^(k-1)alpha*t=2alpha*t*\sum_(k=0)^(n-1)(2/3)^k$.

All'ultimo membro della precedente è presente la somma parziale d'indice $n-1$ della serie geometrica di ragione $2/3$: visto che $0<2/3<1$, tale serie geometrica converge e perciò passando al limite per $n to +oo$ i membri esterni della precedente troviamo:

$\sum_(k=1)^(+oo)T^kf(t)=2alphat*\sum_(k=0)^(+oo)(2/3)^k=2alphat*1/(1-2/3)=6alpha*t$

con la serie a primo membro uniformemente convergente in $[0,1]$.
Dalla formula risolutiva espressa in cima al post traiamo che la soluzione della tua equazione integrale è:

$u(t)=sinpit+6t*\int_0^1s*sinpis" d"s$

e non ti rimane altro da fare che calcolare (per parti) l'integrale definito a secondo membro per semplificare le cose.

Ovviamente controlla i calcoli, perchè non si può mai sapere!

__________
* Attenzione! L'esponente qui non significa "elevamento a potenza", bensì composizione di applicazioni.
Infatti $T^k$ è l'operatore di $C([0,1])$ in sé che si ottiene componendo $k$ volte $T$ con se stesso: insomma $T^2=T\circ T$, $T^3=T\circ T^2=T\circ T\circ T$ e così via (evidentemente $\circ$ denota l'usuale composizione di applicazioni). Quindi ad esempio, fissando $f in C([0,1])$, si ha $T^2f=(T\circT)f= T(Tf)$ che è cosa ben diversa da $(Tf)^2$!

[Chevtchenko]

"Gugo82":* Attenzione! L'esponente qui non significa "elevamento a potenza", bensì composizione di applicazioni.
Infatti $T^k$ è l'operatore di $C([0,1])$ in sé che si ottiene componendo $k$ volte $T$ con se stesso: insomma $T^2=T\circ T$, $T^3=T\circ T^2=T\circ T\circ T$ e così via (evidentemente $\circ$ denota l'usuale composizione di applicazioni). Quindi ad esempio, fissando $f in C([0,1])$, si ha $T^2f=(T\circT)f= T(Tf)$ che è cosa ben diversa da $(Tf)^2$!

Beh, sempre elevamento a potenza è, solo che, come giustamente fai notare, l'operazione qui è la composizione di applicazioni e non il prodotto puntuale. Infatti, se $S$ è un insieme, la coppia $(S^S, \circ)$, con $\circ: (f, g) \in S^S \times S^S \mapsto g \circ f \in S^S$ è ovviamente un semigruppo.

[gugo82]

"Chevtchenko":[quote="Gugo82"]* Attenzione! L'esponente qui non significa "elevamento a potenza", bensì composizione di applicazioni.
Infatti $T^k$ è l'operatore di $C([0,1])$ in sé che si ottiene componendo $k$ volte $T$ con se stesso: insomma $T^2=T\circ T$, $T^3=T\circ T^2=T\circ T\circ T$ e così via (evidentemente $\circ$ denota l'usuale composizione di applicazioni). Quindi ad esempio, fissando $f in C([0,1])$, si ha $T^2f=(T\circT)f= T(Tf)$ che è cosa ben diversa da $(Tf)^2$!

Beh, sempre elevamento a potenza è, solo che, come giustamente fai notare, l'operazione qui è la composizione di applicazioni e non il prodotto puntuale. Infatti, se $S$ è un insieme, la coppia $(S^S, \circ)$, con $\circ: (f, g) \in S^S \times S^S \mapsto g \circ f \in S^S$ è ovviamente un semigruppo.[/quote]
Eh, Cheva, lo so ma avendo visto scritto così:

"blunotte":$sum_{n=0}^oo (int_0^1 2*ts*u(s)ds)^n * sin\pi t = u$

nel post precedente al mio, ho preferito precisare a scanso di equivoci.