Serie di McLaurin
Ciao a tutti 
Data la funzione
$f(x)=1/(1-x)^2$
Come posso svilupparla in serie di McLaurin?
Data la funzione
$f(x)=1/(1-x)^2$
Come posso svilupparla in serie di McLaurin?
Risposte
Facendo le derivate, ad esempio...
Quindi uso la formula
$f(x)=sum(f^((n))(0))/(n!)(x)^n$
???
$f(x)=sum(f^((n))(0))/(n!)(x)^n$
???
Azzardo una risposta.
Eseguendo le derivate successive si ha:
$f^((n))(x)=(n+1)!(1-x)^(-n-2)$ e quindi $f^(n)(0)=1$
e quindi
$f(x)=\sum_{n=0}^{+oo}(f^((n))(0))/(n!)x^n=\sum_{n=0}^{+oo}((n+1)!)/(n!)x^n=\sum_{n=0}^{+oo}(n+1)x^n$
con $-1
Può essere?
Eseguendo le derivate successive si ha:
$f^((n))(x)=(n+1)!(1-x)^(-n-2)$ e quindi $f^(n)(0)=1$
e quindi
$f(x)=\sum_{n=0}^{+oo}(f^((n))(0))/(n!)x^n=\sum_{n=0}^{+oo}((n+1)!)/(n!)x^n=\sum_{n=0}^{+oo}(n+1)x^n$
con $-1
Può essere?
Sì, anche se quella formula ti restituisce lo sviluppo associato a $f$, non necessariamente $f$.
EDIT: questa risposta era indirizzata a spiderontheweb, tanto per cambiare Taddeo mi ha anticipato...
EDIT: questa risposta era indirizzata a spiderontheweb, tanto per cambiare Taddeo mi ha anticipato...
Il risultato è giusto
Grazie!
Grazie!
La serie proposta è un caso partocolare di serie binomiale che ha per espressione generale...
$(1+x)^a= 1+((a),(1))*x+((a),(2))*x^2+...+((a),(n))*x^n+...$ (1)
... in cui...
$((a),(n))= (a*(a-1)*...*(a-n+1))/(n!)$ (2)
Se nella (1) sostituiamo $-2$ al posto di $a$ e $-x$ al posto di $x$ otteniamo...
$(1-x)^(-2)= 1+2*x+3*x^2+...+n*x^n+...$ (3)
La serie converge per $|x|<1$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$(1+x)^a= 1+((a),(1))*x+((a),(2))*x^2+...+((a),(n))*x^n+...$ (1)
... in cui...
$((a),(n))= (a*(a-1)*...*(a-n+1))/(n!)$ (2)
Se nella (1) sostituiamo $-2$ al posto di $a$ e $-x$ al posto di $x$ otteniamo...
$(1-x)^(-2)= 1+2*x+3*x^2+...+n*x^n+...$ (3)
La serie converge per $|x|<1$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"Tipper":
Sì, anche se quella formula ti restituisce lo sviluppo associato a $f$, non necessariamente $f$.
EDIT: questa risposta era indirizzata a spiderontheweb, tanto per cambiare Taddeo mi ha anticipato...
Come al solito ci rincorriamo...
Secondo me, nei limiti indicati per la $x$ lo sviluppo in serie di potenze converge proprio a $f(x)$.
Non lo metto in dubbio, volevo solo dire a spiderontheweb che la formula che ha scritto poteva non essere vera $\forall x$, come infatti si è dimostrato essere, in quanto quella serie diverge per $|x| \ge 1$.
Si può arrivare alla soluzione anche scrivendo lo sviluppo in serie di potenze della funzione
$g(x)=1/(1-x)=\sum_{n=0}^{+oo}x^n$ valido per $-1
$g'(x)=1/(1-x)^2=f(x)$
e che la serie di potenze è uniformemente convergente in $-1
$g(x)=1/(1-x)=\sum_{n=0}^{+oo}x^n$ valido per $-1
$g'(x)=1/(1-x)^2=f(x)$
e che la serie di potenze è uniformemente convergente in $-1
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