Serie di MacLaurin (funzione analitica?)
Ciao,
si voglia sviluppare in serie di MacLaurin la funzione: \(\displaystyle f(x) = \frac{x -1}{x - 2} \) e se ne determini gli intervalli di convergenza. La funzione f è analitica in un intorno I di 0?
Io ne ho fatto alcune derivate ed ho generalizzato la formula per la derivata n-esima a: \(\displaystyle f^{(n)}(x) = (- 1)^{n} (n !) (x - 2)^{- n -1} \). Di conseguenza ho scritto la serie di Maclaurin generata da \(\displaystyle f(x) \) come: \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{f^{(n} (0)}{n !} (x - 0)^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{(- 2)^{n + 1}} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{- 1}{2^{n + 1}} x^{n} \).
E' corretta? Se la calcolo per \(\displaystyle N = 0 \) trovo come primo termine \(\displaystyle - \frac{1}{2} \) anziché \(\displaystyle + \frac{1}{2} = f(0)\). Questo vuol dire che lo sviluppo in serie è sbagliato?
Poi ho determinato la convergenza della serie con la formula della radice: \(\displaystyle \frac{1}{R} = lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{|\frac{- 1}{2^{n + 1}}|} = lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{n}}} = \frac{1}{2}\) da cui \(\displaystyle R = 2 \). Allora la serie di MacLaurin non converge assolutamente per \(\displaystyle |x| > 2\); converge assolutamente, e quindi semplicemente, in \(\displaystyle (- 2 ; + 2) \); agli estremi, in \(\displaystyle x = 2 \) diventa \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+ \infty} - \frac{1}{2} \) quindi diverge a \(\displaystyle - \infty \) , mentre in \(\displaystyle x = -2 \) diventa la serie numerica a segni alterni \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n + 1} \frac{1}{2} \) la cui somma \(\displaystyle A_{N} \) non ammette limite quindi è una serie indeterminata. Riassumendo ho trovato che gli insiemi di assoluta convergenza \(\displaystyle A \) e di convergenza \(\displaystyle S \) sono rispettivamente \(\displaystyle A = S = ( - 2 ; + 2 ) \).
E' corretto?
Infine, la questione della funzione analitica. Se non sbaglio \(\displaystyle f(x) \in C^{\infty}(I) \) quindi concludo che potrebbe essere analitica in I. Inoltre ha senso farlo in un intorno di 0 perché lì essa converge altrimenti non avrebbe avuto senso vero?
Per vedere se è davvero analitica, dovrei dimostrare che la serie converge proprio a \(\displaystyle f(x) \) per \(\displaystyle x \in I \). Ma come fare? Scrivendo la formula di Taylor in un intorno di 0 si ha: \(\displaystyle T_{N} (x) + E_{N+1} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)}{2^{n + 1}} x^{n} + \frac{f^{(N +1)}(x)}{(N +1) !} x^{N + 1} \), dove il resto \(\displaystyle E_{N + 1} = (- 1)^{N + 1} (x - 2)^{- N - 2} \), che in un intorno di 0 ha limite che non esiste, cioè \(\displaystyle lim_{N \rightarrow \infty} E_{N + 1} \) non è 0. Da questo posso concludere che non è analitica in I?
Grazie mille a chiunque mi risponda,
Ciao
si voglia sviluppare in serie di MacLaurin la funzione: \(\displaystyle f(x) = \frac{x -1}{x - 2} \) e se ne determini gli intervalli di convergenza. La funzione f è analitica in un intorno I di 0?
Io ne ho fatto alcune derivate ed ho generalizzato la formula per la derivata n-esima a: \(\displaystyle f^{(n)}(x) = (- 1)^{n} (n !) (x - 2)^{- n -1} \). Di conseguenza ho scritto la serie di Maclaurin generata da \(\displaystyle f(x) \) come: \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{f^{(n} (0)}{n !} (x - 0)^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{(- 2)^{n + 1}} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{- 1}{2^{n + 1}} x^{n} \).
E' corretta? Se la calcolo per \(\displaystyle N = 0 \) trovo come primo termine \(\displaystyle - \frac{1}{2} \) anziché \(\displaystyle + \frac{1}{2} = f(0)\). Questo vuol dire che lo sviluppo in serie è sbagliato?
Poi ho determinato la convergenza della serie con la formula della radice: \(\displaystyle \frac{1}{R} = lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{|\frac{- 1}{2^{n + 1}}|} = lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{n}}} = \frac{1}{2}\) da cui \(\displaystyle R = 2 \). Allora la serie di MacLaurin non converge assolutamente per \(\displaystyle |x| > 2\); converge assolutamente, e quindi semplicemente, in \(\displaystyle (- 2 ; + 2) \); agli estremi, in \(\displaystyle x = 2 \) diventa \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+ \infty} - \frac{1}{2} \) quindi diverge a \(\displaystyle - \infty \) , mentre in \(\displaystyle x = -2 \) diventa la serie numerica a segni alterni \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n + 1} \frac{1}{2} \) la cui somma \(\displaystyle A_{N} \) non ammette limite quindi è una serie indeterminata. Riassumendo ho trovato che gli insiemi di assoluta convergenza \(\displaystyle A \) e di convergenza \(\displaystyle S \) sono rispettivamente \(\displaystyle A = S = ( - 2 ; + 2 ) \).
E' corretto?
Infine, la questione della funzione analitica. Se non sbaglio \(\displaystyle f(x) \in C^{\infty}(I) \) quindi concludo che potrebbe essere analitica in I. Inoltre ha senso farlo in un intorno di 0 perché lì essa converge altrimenti non avrebbe avuto senso vero?
Per vedere se è davvero analitica, dovrei dimostrare che la serie converge proprio a \(\displaystyle f(x) \) per \(\displaystyle x \in I \). Ma come fare? Scrivendo la formula di Taylor in un intorno di 0 si ha: \(\displaystyle T_{N} (x) + E_{N+1} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)}{2^{n + 1}} x^{n} + \frac{f^{(N +1)}(x)}{(N +1) !} x^{N + 1} \), dove il resto \(\displaystyle E_{N + 1} = (- 1)^{N + 1} (x - 2)^{- N - 2} \), che in un intorno di 0 ha limite che non esiste, cioè \(\displaystyle lim_{N \rightarrow \infty} E_{N + 1} \) non è 0. Da questo posso concludere che non è analitica in I?
Grazie mille a chiunque mi risponda,
Ciao
Risposte
In effetti hai sbagliato il calcolo di \(f(0)\) (mentre il calcolo delle derivate è corretto).
Puoi anche osservare che
\[
f(x) = 1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x/2}
\]
e usare il fatto che, per la serie geometrica, \(\sum_{n=0}^{\infty} y^n = 1/(1-y)\) per \(|y| < 1\). Posto infatti \(y=x/2\) ottieni
\[
f(x) = 1- \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n = 1 - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^{n+1}},
\qquad \forall |x| < 2.
\]
Puoi anche osservare che
\[
f(x) = 1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x/2}
\]
e usare il fatto che, per la serie geometrica, \(\sum_{n=0}^{\infty} y^n = 1/(1-y)\) per \(|y| < 1\). Posto infatti \(y=x/2\) ottieni
\[
f(x) = 1- \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n = 1 - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^{n+1}},
\qquad \forall |x| < 2.
\]
"EdmondDantès":
\(\displaystyle T_{N} (x) + E_{N+1} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)}{2^{n + 1}} x^{n} + \frac{f^{(N +1)}(x)}{(N +1) !} x^{N + 1} \), dove il resto \(\displaystyle E_{N + 1} = (- 1)^{N + 1} (x - 2)^{- N - 2} \)
Mi sono accorto di aver sbagliato la valutazione del resto. Dovrebbe essere così:
\(\displaystyle E_{N + 1} = (- 1)^{N + 1} (- 2)^{- (N + 1) - 1} x^{N + 1} \) quindi \(\displaystyle lim_{N \rightarrow \infty} E_{N + 1} = -\frac{1}{2} lim_{N \rightarrow \infty} (\frac{x}{2})^{N + 1} = 0 \) se \(\displaystyle - 2 < x < 2 \).
Quello che ho mostrato allora è che effettivamente \(\displaystyle f(x) \) è analitica in un intorno I di 0, in quanto in un intorno di 0 vale sicuramente \(\displaystyle -2 < x < 2 \) .
Ma come si fa per verificare l'analiticità in un qualsiasi altro punto o in tutto il suo dominio? A quel punto non mi servirebbe più a niente la serie di MacLaurin e dovrei studiare di nuovo puntualmente la serie di Taylor generata dalla \(\displaystyle f(x) \) in un qualsiasi altro centro \(\displaystyle x_0 \) ?
Domanda: esiste un altro modo per dire dove è analitica o meno una funzione? C'entra qualcosa ad esempio l'insieme di convergenza della serie di MacLaurin?
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