Serie di MacLaurin

[Manugal]

Ciao a tutti!!

Ho il seguente esercizio. Non riesco a venirne a capo. "Sviluppare in serie di MacLaurin la funzione $f(x)=(2x)/(4-x^2)$"

Io ho cercato di trasformarla in una serie geometrica e mi viene una cosa del tipo: $2*x/(1-(x^2-3))$ (non so se è giusto). Ma poi da qua non so come muovermi.

[Camillo]

Conviene trasformare così : $ 2x/(4-x^2) =A/(2+x)+B/(2-x) $ ; si ottiene $(-1/2)/(1-(-x/2)) +(1/2)/(1-(x/2)) $ facili da sviluppare in serie di Mc Laurin , tenendo presente che quanto si ottiene è valido per $|x| < 2 $.

[Manugal]

Ok, grazie non ci avevo proprio pensato che $4-x^2=(2-x)(2+x)$. Se ho altri problemi posterò qui.

[ViciousGoblin]

Però si può anche fare così:

${2x}/{4-x^2}=x/2 1/{1-(x/2)^2}=x/2(\sum_{k=0}^n(x/2)^{2k}+o(x^{2n}))=\sum_{k=0}^n(x/2)^{2k+1}+o(x^{2n+1})$

[gugo82]

"ViciousGoblinEnters":Però si può anche fare così:

${2x}/{4-x^2}=x/2 1/{1-(x/2)^2}=x/2(\sum_{k=0}^n(x/2)^{2k}+o(x^{2n}))=\sum_{k=0}^n(x/2)^{2k+1}+o(x^{2n+1})$

Ma, visto che si voleva determinare uno sviluppo in serie e non un approssimazione di Taylor d'ordine $n$, conveniva scrivere così:

${2x}/{4-x^2}=\sum_{k=0}^(+oo)(x/2)^{2k+1}$

in $]-2,2[$.

La serie diverge negli estremi dell'intervallo di convergenza.

[ViciousGoblin]

Ma, visto che si voleva determinare uno sviluppo in serie e non un approssimazione di Taylor d'ordine n, conveniva scrivere così:

E' vero!

Avevo letto male la richiesta - o meglio non l'avevo sott'occhi mentre scrivevo la risposta e sono andato a memoria. Non sono ancora pratico nell'uso
dell'interfaccia.

[studentean]

chi mi sa dare una definizione generale per ricondurre un termine in una serie nota?

[gugo82]

"studentean":chi mi sa dare una definizione generale per ricondurre un termine in una serie nota?

Diciamo che un "metodo generale" non c'è...

Tutto si basa su due fatti:

- la conoscenza degli sviluppi in serie delle funzioni elementari;

- l'occhio sviluppato con la pratica assidua degli esercizi.

[Manugal]

Ecco non ho capito perché viene elevato alla n+1 o alla 2k+1. Non dovrebbe essere solo n o solo 2k?

[Camillo]

Perchè va considerato il termine $x/2$ a fattor comune , fuori della parentesi che include la sommatoria.

[Manugal]

Ho capito, grazie.