Serie di Lie

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Per il funzionale $S=L_{z}^{2}$ dove $L_{z}=xp_y-yp_x$ ($p_x$ e $p_y$ sarebbero momenti, $p_x=m\dot x$) si determini l'evoluzione della coordinata $x$ valutando la serie di Lie $x(t)=e^{tD_H}x$.

Devo vedere a cosa converge la serie di Lie \[e^{tD_H}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}D_H^{k}x\] La prima cosa da fare è calcolare $D_H^{k}$, le derivate $k$-esime di Lie sul campo hamiltoniano di $S$.

Sia $\Phi \in \mathbb{R}^n$ il campo vettoriale associato all'equazione differenziale $\dot{\vec{x}}=\vec{\Phi}$, allora la derivata di Lie è l'operatore differenziale definito da \[D_{\Phi}=\vec{\Phi} \cdot \frac{\partial}{\partial \vec{x}} \] Per un campo Hamiltoniano (formula sotto) su un funzionale $A: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ si scrive \[\Phi = \textbf{J}\frac{\partial A}{\partial \vec{x}}=\begin{bmatrix} 0 & \ 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\partial A / \partial x\\ \partial A / \partial y\end{bmatrix}\]
La parentesi di Poisson $[A,B]$ fra due funzionali $A$ e $B$ è definita come il prodotto scalare fra il gradiente di $A$ ed il campo hamiltoniano di $B$. La derivata di Lie $D_H$ su $x$ diventa allora la parentesi di Poisson $[x,S]$.

Per calcolare le derivate di Lie $k$-esime non devo fare altro quindi che iterare le parentesi di Poisson. La soluzione per le derivata prima dice
\[
\begin{split}
D_{H}x
&=[x,L_{z}^{2}]\\
&=[x,L_{z}L_{z}]\\
&=[x,L_{z}]L_{z}+L_{z}[x,L_{z}]\\
&=2L_{z}[x,L_{z}]\\
&=-2yL_{z}
\end{split}
\]
Arrivo fino al penultimo passaggio. L'ultimo non lo riesco a capire. E' il calcolo esplicito della parentesi di Poisson secondo definizione? \[ [x,L_{z}]=\begin{bmatrix} \partial x / \partial x \\ \partial x / \partial y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & \ 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\partial L_{z} / \partial x\\ \partial L_{z} / \partial y\end{bmatrix}\]Perché a me non viene. O ho sbaglio i calcoli o non ho capito la teoria. Un'altra cosa che non capisco è perché l'azione della serie di Lie su $x$ restituisca il flusso del campo, ovvero la soluzione al tempo $t$: $x(t)=e^{tD_H}x$.

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Mi sa che $S$ è una funzione di quattro coordinate, ed infatti calcolando le parentesi di Poisson $[\ \cdot\ ,\ \cdot\ ]_{q,p}$ su $q=(x,y)$ e $p=(p_x,p_y)$ secondo la definizione compatta mi viene. Il problema è che nel mio libro la definizione di parentesi di Poisson per $A$ e $B$ è quella di prodotto scalare fra il gradiente di $A$ ed il campo hamiltoniano generato da $B$. Vale a dire $A=A(x,y,p_x,p_y)$ e $B=B(x,y,p_x,p_y)$. Sia poi $I$ la matrice identità e $J=((0,I),(-I,0))$. La parentesi di Poisson è allora \[\nabla A \cdot \textbf{J} \nabla B\]
Il punto è che non capisco l'ordine delle derivate del gradiente, che non è specificato. Questo deve essere tale da rispettare la definizione compatta delle parentesi di Poisson.