Serie di laurent: sviluppo in fratti o no?
devo sviluppare la funzione $f(z)=1/(z(z^2+1))$ per $0<|z|<1$.devo svilupparla in fratti semplici e considerare poi i singoli fratti oppure posso scrivere direttamente lo sviluppo osservando che $1/z$ rappresenta già lo sviluppo centrato in $z=0$ e quindi diventa $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^nz^(2n-1)$.qualcuno potrebbe rispondermi?
Risposte
ma io non capisco esattamente quando è necessario lo sviluppo in fratti semplici.è sempre richiesto?
La tua funzione [tex]$f(z)$[/tex] è il prodotto di una funzione con una singolarità polare in [tex]$0$[/tex], ossia [tex]$\tfrac{1}{z}$[/tex], e di una funzione olomorfa intorno a [tex]$0$[/tex], cioè [tex]$\tfrac{1}{1+z^2}$[/tex].
Visto che il fattore "singolare" è assegnato praticamente già sviluppata in serie di Laurent, per determinare la sviluppo di [tex]$f(z)$[/tex] in serie di Laurent intorno a [tex]$0$[/tex] basta trovare lo sviluppo in serie di Taylor del fattore "regolare" e moltiplicarlo per lo sviluppo di Laurent del fattore "singolare".
Lo sviluppo di [tex]$\tfrac{1}{1+z^2}$[/tex] si determina notando che:
[tex]$\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1-(\imath z)^2}$[/tex]
e ricordando la serie geometrica. Fatto ciò hai quasi finito... Prova.
Visto che il fattore "singolare" è assegnato praticamente già sviluppata in serie di Laurent, per determinare la sviluppo di [tex]$f(z)$[/tex] in serie di Laurent intorno a [tex]$0$[/tex] basta trovare lo sviluppo in serie di Taylor del fattore "regolare" e moltiplicarlo per lo sviluppo di Laurent del fattore "singolare".
Lo sviluppo di [tex]$\tfrac{1}{1+z^2}$[/tex] si determina notando che:
[tex]$\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1-(\imath z)^2}$[/tex]
e ricordando la serie geometrica. Fatto ciò hai quasi finito... Prova.
"gugo82":
La tua funzione [tex]$f(z)$[/tex] è il prodotto di una funzione con una singolarità polare in [tex]$0$[/tex], ossia [tex]$\tfrac{1}{z}$[/tex], e di una funzione olomorfa intorno a [tex]$0$[/tex], cioè [tex]$\tfrac{1}{1+z^2}$[/tex].
Visto che il fattore "singolare" è assegnato praticamente già sviluppata in serie di Laurent, per determinare la sviluppo di [tex]$f(z)$[/tex] in serie di Laurent intorno a [tex]$0$[/tex] basta trovare lo sviluppo in serie di Taylor del fattore "regolare" e moltiplicarlo per lo sviluppo di Laurent del fattore "singolare".
Lo sviluppo di [tex]$\tfrac{1}{1+z^2}$[/tex] si determina notando che:
[tex]$\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1-(\imath z)^2}$[/tex]
e ricordando la serie geometrica. Fatto ciò hai quasi finito... Prova.
allora alla fine ottengo $sum_(n=0)^(oo) (iz)^(n-1)$.ma se qui avessi risolto tramite sviluppo in fratti semplici sarebbe stata la stessa cosa?
Non credo.
Dato che:
[tex]$\frac{1}{1+z^2} =\sum_{n=0}^{+\infty} (\imath z)^{2n}$[/tex],
si ha:
[tex]$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n z^{2n-1}$[/tex].
Più attenzione coi conti.
Dato che:
[tex]$\frac{1}{1+z^2} =\sum_{n=0}^{+\infty} (\imath z)^{2n}$[/tex],
si ha:
[tex]$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n z^{2n-1}$[/tex].
Più attenzione coi conti.
"gugo82":
Non credo.
Dato che:
[tex]$\frac{1}{1+z^2} =\sum_{n=0}^{+\infty} (\imath z)^{2n}$[/tex],
si ha:
[tex]$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n z^{2n-1}$[/tex].
Più attenzione coi conti.
azz che errore.sul foglio avevo scritto bene.il mio problema è che non capisco quando effettivamente utilizzare questo benedetto sviluppo in fratti semplici.posso dire che quando c'è direttamente il termine interessato dello sviluppo come in queste caso $1/z$ allora posso direttamente passare allora sviluppo in serie di Laurent mentre se ci fosse stato lo sviluppo in $0<|z-i|<1$ allora devo effettuare lo sviluppo in fratti semplici giusto?
"mazzy89":
se ci fosse stato lo sviluppo in $0<|z-i|<1$ allora devo effettuare lo sviluppo in fratti semplici giusto?
Beh, sì, perchè la parte singolare in [tex]$\imath$[/tex] sta "dentro" a [tex]$\tfrac{1}{1+z^2}$[/tex] e devi cercare di tirarla fuori.
"gugo82":
[quote="mazzy89"]se ci fosse stato lo sviluppo in $0<|z-i|<1$ allora devo effettuare lo sviluppo in fratti semplici giusto?
Beh, sì, perchè la parte singolare in [tex]$\imath$[/tex] sta "dentro" a [tex]$\tfrac{1}{1+z^2}$[/tex] e devi cercare di tirarla fuori.[/quote]
ah bene.io invece ho sviluppato in fratti semplici il caso precedente così effettivamente mi convinco ed ho ottenuto una cosa del genere:
$z^(-1)-1/2*1/(z-i)-1/2*1/(z+i)=z^(-1)+1/(2i)*1/(1-(z/i))-1/(2i)*1/(1-(-(z))/i)$
a questo punto diventa
$z^(-1)+1/(2i)*sum_(n=0)^oo z^n-1/(2i)*sum_(n=0)^oo (-1)^n z^n$
potrebbe essere questa la strada?
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