Serie di Laurent [risultato trovato ma non so il perchè]
Ciao a tutti, il titolo è eloquente, ho studiato la teoria, svolto gli esercizi ma all'atto pratico mi sento un po' spaurito. Potete dirmi se i ragionamenti che ho fatto sono giusti?
Calcolare lo sviluppo di laurent di:
$f(z)= (z+1)/(z-1)$ centrata in $z_0=0$ con $|z| <1$ e $|z|>1
Svolgimento: per $|z|<1$
1) prendendo la f(z) la rileggo:
$f(z)=(z+1)/(z-1) = 1+2/(z-1)$
2) Noto che il secondo membro mi rimembra uno sviluppo noto di mclaurin della serie geometrica per cui:
$f(z)= 1-2(1/(1-z))= 1- 2 \sum_{z=0}^infty z^n$
E' quindi la serie di Laurent fi f(z).
Svolgimento: per $|z|>1$
1) in questo caso non devo estrapolare solo un coefficente ma anche una z dalla f(z) che ho scritto prima per cui divido il secondo membro per z:
$f(z)=(z+1)/(z-1) = 1-2/z(1/(1-1/z))$
2) anche in questo caso trovo la serie geometrica di ragione 1/z di cui conosco lo sviluppo mclaurin
$f(z)= 1- 2/z \sum_{z=0}^infty 1/z^n = 2 \sum_{z=0}^infty 1/z^(n+1)$
Anche altri esercizi simili tendono a far uso dei richiami dello sviluppo in serie di mclaurin, solo che non ho ben capito come usare i vari punti di non analiticità della funzione. Per capire come trovare lo sviluppo, per esempio, nella mia testa penso: nel primo caso devo tirar fuori da qualche parte una costante, nel secondo caso la costante deve essere moltiplicata/divisa per z. Fin'ora ha funzionato, solo che non so se è giusto quello che ho pensato
Calcolare lo sviluppo di laurent di:
$f(z)= (z+1)/(z-1)$ centrata in $z_0=0$ con $|z| <1$ e $|z|>1
Svolgimento: per $|z|<1$
1) prendendo la f(z) la rileggo:
$f(z)=(z+1)/(z-1) = 1+2/(z-1)$
2) Noto che il secondo membro mi rimembra uno sviluppo noto di mclaurin della serie geometrica per cui:
$f(z)= 1-2(1/(1-z))= 1- 2 \sum_{z=0}^infty z^n$
E' quindi la serie di Laurent fi f(z).
Svolgimento: per $|z|>1$
1) in questo caso non devo estrapolare solo un coefficente ma anche una z dalla f(z) che ho scritto prima per cui divido il secondo membro per z:
$f(z)=(z+1)/(z-1) = 1-2/z(1/(1-1/z))$
2) anche in questo caso trovo la serie geometrica di ragione 1/z di cui conosco lo sviluppo mclaurin
$f(z)= 1- 2/z \sum_{z=0}^infty 1/z^n = 2 \sum_{z=0}^infty 1/z^(n+1)$
Anche altri esercizi simili tendono a far uso dei richiami dello sviluppo in serie di mclaurin, solo che non ho ben capito come usare i vari punti di non analiticità della funzione. Per capire come trovare lo sviluppo, per esempio, nella mia testa penso: nel primo caso devo tirar fuori da qualche parte una costante, nel secondo caso la costante deve essere moltiplicata/divisa per z. Fin'ora ha funzionato, solo che non so se è giusto quello che ho pensato
Risposte
Ciao anche io sto facendo un corso di analisi complessa, per quanto ho letto dal tuo svolgimento è tutto giusto, almeno credo ;p.
Quali sono i tuoi dubbi?
Quali sono i tuoi dubbi?
Il risultato è corretto, quindi salvo aver commesso 2 errori che si compensano a vicenda, è tutto giusto.
Tuttavia il mio dubbio risiede nella frase che ho riportato:
Ecco dietro non c'è una logica matematica ma una semplice presunzione di correttezza. Ho capito che c'è da analizzare la singolarità della funzione per cui si studiano circonferenze strettamente maggiori o minori del punto (una sorta di studio del limite da destra o da sinistra) per vedere il comportamento della serie. Quello che mi domandavo è appunto nella praticità dell'analisi matematica "come" ci si dovesse comportare; diciamo che non sono soddisfatto del metodo (personalissimo) per raggiungere la soluzione
Tuttavia il mio dubbio risiede nella frase che ho riportato:
"net_math":
Per capire come trovare lo sviluppo, per esempio, nella mia testa penso: nel primo caso devo tirar fuori da qualche parte una costante, nel secondo caso la costante deve essere moltiplicata/divisa per z. Fin'ora ha funzionato, solo che non so se è giusto quello che ho pensato
Ecco dietro non c'è una logica matematica ma una semplice presunzione di correttezza. Ho capito che c'è da analizzare la singolarità della funzione per cui si studiano circonferenze strettamente maggiori o minori del punto (una sorta di studio del limite da destra o da sinistra) per vedere il comportamento della serie. Quello che mi domandavo è appunto nella praticità dell'analisi matematica "come" ci si dovesse comportare; diciamo che non sono soddisfatto del metodo (personalissimo) per raggiungere la soluzione
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