Serie di Laurent problema
\(\displaystyle f(z) = \frac{1-\cos (z)}{z^3} + \frac{z+1}{z-3} \)devo scrivere lo sviluppo di Laurent di questa funzione, i punti singolari di questa funzione sono z = 0 che se non erro è un polo di ordine 3 per il denominatore e di ordine 1 per il numeratore, e z = 3 è un polo di ordine 1, non sono molto sicuro che lo studio delle singolarità sia corretto quindi sarei grato a chi mi scriva i passaggi per lo studio di queste singolarità, dopodichè ho svolto così:
\(\displaystyle \frac{1}{z^3}(-1)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}+\frac{z+1}{z-3} \), ora quello che vorrei sapere è come faccio a sviluppare \(\displaystyle \frac{z+1}{z-3} \).
\(\displaystyle \frac{1}{z^3}(-1)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}+\frac{z+1}{z-3} \), ora quello che vorrei sapere è come faccio a sviluppare \(\displaystyle \frac{z+1}{z-3} \).
Risposte
No, \(z=0\) non è un polo d'ordine \(3\), ma d'ordine più basso.
Per quanto riguarda lo studio delle singolarità, tempo fa ho scritto un pdf con un po' di esercizi svolti; spero ti sia utile.
Per quanto riguarda lo studio delle singolarità, tempo fa ho scritto un pdf con un po' di esercizi svolti; spero ti sia utile.
grazie, farò tesoro del PDF per quanto riguarda lo sviluppo ho proceduto così, ma la soluzione è diversa da quella del libro quindi sicuramente ho fatto qualche errore allora:
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^3}(-1)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}+\frac{z+1}{z-3} \), ora per quanto riguarda \(\displaystyle \frac{z+1}{z-3} \) ho proceduco così :
\(\displaystyle \frac{z+1}{z-3} = \frac{z+1}{-3}*\frac{1}{1-\frac{z}{3}} \) che è riconducibile a serie geometrica, dunque
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^3}(-1)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}+\frac{z+1}{-3}\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{3^n}\) allora \(\displaystyle f(z) = -\sum_{n =0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n-3}-(z+1)\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{3^{n+3}} \)che equivale a \(\displaystyle f(z) = -\sum_{n =0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n-3} -\sum_{n =0}^\infty\frac{z^{n+1}}{3^{n+3}}- \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{3^{n+3}}\) sicuramente ho commesso degli errori perchè il risultato del libro è diverso, inoltre vorrei sapere se arrivato a questo punto devo continuare a sviluppare oppure mi devo fermare cioè se devo svolgere le somme\sottrazioni tra serie, in caso di risposta positiva se hai qualche link in cui viene spiegato bene qual'è il procedimento perchè nonostante lo abbia studiato non mi sento molto fermo su questo argomento, grazie anticipatamente
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^3}(-1)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}+\frac{z+1}{z-3} \), ora per quanto riguarda \(\displaystyle \frac{z+1}{z-3} \) ho proceduco così :
\(\displaystyle \frac{z+1}{z-3} = \frac{z+1}{-3}*\frac{1}{1-\frac{z}{3}} \) che è riconducibile a serie geometrica, dunque
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^3}(-1)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}+\frac{z+1}{-3}\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{3^n}\) allora \(\displaystyle f(z) = -\sum_{n =0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n-3}-(z+1)\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{3^{n+3}} \)che equivale a \(\displaystyle f(z) = -\sum_{n =0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n-3} -\sum_{n =0}^\infty\frac{z^{n+1}}{3^{n+3}}- \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{3^{n+3}}\) sicuramente ho commesso degli errori perchè il risultato del libro è diverso, inoltre vorrei sapere se arrivato a questo punto devo continuare a sviluppare oppure mi devo fermare cioè se devo svolgere le somme\sottrazioni tra serie, in caso di risposta positiva se hai qualche link in cui viene spiegato bene qual'è il procedimento perchè nonostante lo abbia studiato non mi sento molto fermo su questo argomento, grazie anticipatamente
"claudio_p88":
\(\displaystyle f(z) = \frac{1-\cos (z)}{z^3} + \frac{z+1}{z-3} \)devo scrivere lo sviluppo di Laurent di questa funzione
Il punto \(0\) è un polo d'ordine \(1\) (perché?) ed il punto \(3\) pure.
Quindi va da sé che le espansioni in serie di Laurent intorno a \(0\) e \(3\) dovranno cominciare dalle potenze con esponente \(-1\).
In particolare, dal noto sviluppo in serie di MacLaurin del coseno si trae:
\[
1-\cos z=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\ z^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n+2}
\]
sicché:
\[
\frac{1-\cos z}{z^3} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n-1}
\]
che comincia proprio con la potenza \(1/z\); d'altra parte è:
\[
\frac{z+1}{z-3}=1+\frac{4}{z-3} =1-\frac{4}{3}\ \frac{1}{1-\frac{1}{3}z} =1-\frac{4}{3}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}\ z^n
\]
per noti fatti sulla serie geometrica.
Quindi, sommando nel modo giusto le due serie così ottenute, dimostri che la tua serie di Laurent intorno a \(0\) si scrive \(\sum_{k=-1}^\infty c_k\ z^k\) con:
\[
c_k:=\begin{cases}\frac{1}{2} &\text{, se } k=-1\\
1-\frac{4}{3} &\text{, se } k=0\\
\frac{(-1)^{(k+1)/2}}{(k+3)!}-\frac{4}{3^{k+1}} &\text{, se } k \text{ è dispari e positivo}\\
-\frac{4}{3^{k+1}} &\text{, se } k \text{ è pari e positivo.}
\end{cases}
\]
La regione di convergenza della serie è il disco forato definito dalle limitazioni \(0<|z|<3\).
Determinare la serie di Laurent intorno a \(3\) è un po' più laborioso, ma si fa sempre in maniera elementare.
ti posto la soluzione del libro: \(\displaystyle \frac{1}{z^3}-\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{(2n-3)}}{(2n)!}-\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{n+1}}{3^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{3^{n+1}}\) è la tua stessa soluzione? grazie per la disponibilità.
Hai provato a verificare da solo?
Inoltre, visto che il polo \(0\) è d'ordine \(1\), quella roba lì non può essere giusta.
Inoltre, visto che il polo \(0\) è d'ordine \(1\), quella roba lì non può essere giusta.
Ora provo a verificare, scusa se ti rispondo solo adesso, ma sono un po' indaffarato, per quella roba lì, intendi la mia soluzione o la soluzione del libro?
Comunque il PDF è veramente una mano santa, grazie apprezzo molto il tuo lavoro è veramente d'aiuto sei un grande
"claudio_p88":
[...] per quella roba lì, intendi la mia soluzione o la soluzione del libro?
Entrambe, dato che contengono i termini \(1/z^3\) che non devono esserci.
Cavolo è strano, è una soluzione di un esercizio d'esame pubblicata da una professoressa di una nota università romana, vabbè sinceramente mi fido molto più di te...
"claudio_p88":
ti posto la soluzione del libro: \(\displaystyle \frac{1}{z^3}-\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{(2n-3)}}{(2n)!}-\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{n+1}}{3^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{3^{n+1}}\) è la tua stessa soluzione? grazie per la disponibilità.
L'ora è già tarda (per me), quindi potrei non vedere bene ma... sbaglio o i termini $z^-3$ vanno via?
Il primo termine della prima serie che hai scritto tu è esattamente $z^(-3)$; davanti alla serie c'è un meno, quindi il termine con $n=0$ si elide.
D'altra parte, prendendo $n=1$ nella stessa serie salta fuori proprio il termine con $z^-1$... Insomma, controlla un po', perchè probabilmente è giusta anche quella scrittura (anche se è non poco fuorviante mettere in evidenza il termine $\frac{1}{z^3}$ all'inizio... fa subito pensare di essere di fronte a un polo di ordine 3).
Allora, dopo aver letto il PDF che mi ha allegato Gugo, credo di essere in grado di poter studiare le singolarità in maniera adeguata, ho proceduto così, la funzione \(\displaystyle f(z) = \frac{1-\cos (z)}{z^3} + \frac{z+1}{z-3} \) presenta delle singolarità polari nei punti \(\displaystyle z = 0 \) e \(\displaystyle z = 3 \),se studiamo l'ordine delle singolarità ci accorgiamo che nel punto \(\displaystyle z = 0 \) abbiamo una singolarità polare di ordine 3 , che viene parzialmente compensata dal numeratore in quanto se sostituiamo \(\displaystyle z = 0 \) a \(\displaystyle 1-\cos(z) \) otteniamo uno zero d'ordine due, quindi l'ordine del polo \(\displaystyle z = 0 \) è dato da \(\displaystyle 3-2 \), per quanto riguarda \(\displaystyle z = 3 \) è un polo di ordine 1 ed è facile verificarlo, la funzione inoltre non ha zeri perchè all'annullarsi di \(\displaystyle 1-\cos(z) \) per \(\displaystyle 2k\pi \)permane comunque \(\displaystyle z+1 \) e lo stesso vale facendo l'inverso, correggetemi se sbaglio.
Ora quello che non riesco a capire sono i passaggi \(\displaystyle 1-\cos z=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\ z^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n+2} \) e successivi \(\displaystyle \frac{1-\cos z}{z^3} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n-1} \) da dove esce fuori quel \(\displaystyle (2n+2)! \), non mi sono molto chiari questi passaggi, perchè cambio l'indice della sommatoria inizialmente? Credo sia per via dell' 1 nel \(\displaystyle 1-\cos(z) \), grazie a chiunque mi darà delucidazioni.
Ora quello che non riesco a capire sono i passaggi \(\displaystyle 1-\cos z=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\ z^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n+2} \) e successivi \(\displaystyle \frac{1-\cos z}{z^3} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n-1} \) da dove esce fuori quel \(\displaystyle (2n+2)! \), non mi sono molto chiari questi passaggi, perchè cambio l'indice della sommatoria inizialmente? Credo sia per via dell' 1 nel \(\displaystyle 1-\cos(z) \), grazie a chiunque mi darà delucidazioni.
Beh, è noto da Analisi I che:
\[
\cos z= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{2n} = 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{2n}
\]
quindi:
\[
1-\cos z =-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{2n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\ z^{2n} \; ;
\]
facendo infine la sostituzione d'indice \(n=m+1\) trovi:
\[
1-\cos z=\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^{m+2}}{(2m+2)!}\ z^{2m+2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+2)!}\ z^{2m+2} \; ,
\]
da cui, chiamando di nuovo \(n\) l'indice di sommatoria, si ottiene :
\[
1-\cos z=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n+2}
\]
che è l'espansione in serie di MacLaurin che ho scritto in precedenza (N.B.: il nome dell'indice di sommatoria non è importante; così come la variabile d'integrazione in un integrale definito, l'indice di sommatoria è una variabile muta quindi puoi usare il nome che più ti piace).
\[
\cos z= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{2n} = 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{2n}
\]
quindi:
\[
1-\cos z =-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{2n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\ z^{2n} \; ;
\]
facendo infine la sostituzione d'indice \(n=m+1\) trovi:
\[
1-\cos z=\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^{m+2}}{(2m+2)!}\ z^{2m+2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+2)!}\ z^{2m+2} \; ,
\]
da cui, chiamando di nuovo \(n\) l'indice di sommatoria, si ottiene :
\[
1-\cos z=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n+2}
\]
che è l'espansione in serie di MacLaurin che ho scritto in precedenza (N.B.: il nome dell'indice di sommatoria non è importante; così come la variabile d'integrazione in un integrale definito, l'indice di sommatoria è una variabile muta quindi puoi usare il nome che più ti piace).
Grande, grazie mille, per quanto riguarda lo studio delle singolarità ho proceduto bene? Grazie per la velocità della risposta hai risolto tutti i miei dubbi.
Per quanto riguarda le sigolarità, sì mi sembra tutto OK.
Però lo studio degli zeri è errato (infatti non puoi studiare separatamente i due addendi e sperare di determinare tutti gli zeri della tua funzione in quel modo).
Dato che la determinazione degli zeri della tua funzione è un problema difficile, lascia stare.
Però lo studio degli zeri è errato (infatti non puoi studiare separatamente i due addendi e sperare di determinare tutti gli zeri della tua funzione in quel modo).
Dato che la determinazione degli zeri della tua funzione è un problema difficile, lascia stare.
Intendi dire che quindi lo studio degli zeri andava fatto nel modo seguente:
\(\displaystyle f_1(z)=1-\cos(z)=0 \) per ogni \(\displaystyle z = 2k\pi \) inoltre questo punto rappresenta per la funzione uno 0 d'ordine 2, mentre per\(\displaystyle f_2(z)= z+1 =0\) per ogni \(\displaystyle z=-1 \) questo punto rappresenta uno 0 d'ordine 1?
\(\displaystyle f_1(z)=1-\cos(z)=0 \) per ogni \(\displaystyle z = 2k\pi \) inoltre questo punto rappresenta per la funzione uno 0 d'ordine 2, mentre per\(\displaystyle f_2(z)= z+1 =0\) per ogni \(\displaystyle z=-1 \) questo punto rappresenta uno 0 d'ordine 1?
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